इयत्ता 8 वी त्रिकोणांची एकरूपता काय आहे?

इयत्ता 8 वी त्रिकोणांची एकरूपता काय आहे? : त्रिकोणांची एकरूपता म्हणजे दोन त्रिकोण सर्वस्वी समान असणे, म्हणजेच त्यांचे अनुक्रमे सर्व कोन व सर्व बाजू समान मापाचे असणे. गणितात विविध कसोट्यांच्या आधारे त्रिकोणांची एकरूपता ठरवता येते. त्रिकोणांची एकरूपता ही संकल्पना भूमितीमध्ये महत्त्वाची भूमिका बजावते.

त्रिकोणांची एकरूपता म्हणजे काय?

त्रिकोणांची एकरूपता समजावून घेताना आपण वरील आकृतीत दिलेले \triangleABC आणि \trianglePQR, हे दोन त्रिकोण विचारात घेऊ.

\triangleABC चे शिरोबिंदू A, B, C आणि \trianglePQR चे शिरोबिंदू P, Q, R एकमेकांशी जुळले की,

1)\;\triangleABC मधील बिंदू A ची संगती \trianglePQR मधील बिंदू P शी आहे, असं म्हणतात.2)\;\triangleABC मधील बिंदू B ची संगती \trianglePQR मधील बिंदू Q शी आहे, असं म्हणतात.3)\;\triangleABC मधील बिंदू C ची संगती \trianglePQR मधील बिंदू R शी आहे, असं म्हणतात.आणि ही संगती A\leftrightarrow P,\;B\leftrightarrow Q,\;C\leftrightarrow R अशी दर्शवतात.

अशा प्रकारे त्रिकोण एकरूप झाले की खालील तीन कोनांच्या आणि तीन बाजूंच्या , अशा सहा एकरूपता मिळतात,
\begin{aligned} \\ (1)\;\angle A\cong \angle P \\ (2)\;\angle B\cong \angle Q \\ (3)\;\angle C\cong \angle R\end{aligned}

आणि

(4) बाजू AB\cong बाजू PQ
(5) बाजू QR\cong बाजू BC
(6) बाजू CA\cong बाजू RP

अशा प्रकारे \triangle ABC आणि \triangle PQR हे दोन त्रिकोण ABC \leftrightarrow PQR या संगतीत एकरूप आहेत, असे म्हणतात आणि \triangle ABC\cong \triangle PQR अशी ही त्रिकोणांतली एकरूपता दर्शवली जाते.

आता आपण त्रिकोणांची एकरूपता कशा प्रकारे पडताळून पाहिली जाते, ते काही उदाहरणांवरून समजून घेऊयात,
उदाहरण 1:

वरील दोन त्रिकोणांची एकरूपता खालील तीन प्रकाराने दर्शवली आहे. ह्यातील कोणती पद्धत योग्य आहे आणि कोणती अयोग्य आहे आणि त्याची कारणं कोणती?
\begin{aligned} \\ (1)\;\triangle ABC\cong \triangle QPR \\ (2)\;\triangle BAC\cong \triangle PQR \\ (3)\;\triangle ABC\cong \triangle PQR\end{aligned}

उत्तर:
वरील आकृत्यांमध्ये दोन्ही त्रिकोणांचे एकरूप कोन आणि बाजू सारख्या खुणांनी दाखवलेल्या आहेत; त्यावरून आपण आधी दोन्ही त्रिकोणांच्या कोनांची आणि बाजूंची एकरूपता सविस्तर लिहू,

\begin{aligned} \\ & (1)\;\angle A\cong \angle Q \\ & (2)\;\angle B\cong \angle P \\ & (3)\;\angle C\cong \angle R\end{aligned}

(1) बाजू AB\cong बाजू QP
(2) बाजू BC\cong बाजू PR
(3) बाजू AC\cong बाजू QR

\begin{aligned} \\ & (1)\;\triangle ABC\cong \triangle QPR \quad \mathbf{\color{green}{\checkmark}} \\ & (2)\;\triangle BAC\cong \triangle PQR \quad \mathbf{\color{green}{\checkmark}} \\ & (3)\;\triangle ABC\cong \triangle PQR \quad \mathbf{\color{red} \text{✘}}\end{aligned}

उदाहरणात दिलेल्या तीन पर्यायांपैकी पहिले दोन पर्याय योग्य आहेत आणि शेवटचा पर्याय अयोग्य आहे; कारण त्यात दोन्ही त्रिकोणांच्या कोनांचा किंवा शिरोबिंदूंचा क्रम एकमेकांशी जुळत नाही आणि त्यामुळे \triangle ABC\cong \triangle PQR दोन्ही त्रिकोणांतली एकरूपता दर्शवत नाही.

उदाहरण 2:
खाली दोन एकास एक संगतीने एकरूप असलेले त्रिकोण दिलेले आहेत. त्यांचे एकरूप घटक समान खुणांनी दाखवलेले आहेत.
(1) ह्या दोन्ही त्रिकोणांची एकरूपता दोन प्रकाराने लिहा.
(2) \triangle PRQ\cong \triangle ABCहे विधान योग्य आहे की नाही, हे सकारणं स्पष्ट करा.

उत्तर:
हे दोन्ही त्रिकोण एकास एक संगतीने एकरूप आहेत. एकास एक संगती ही ABC\leftrightarrow PQR अशा पद्धतीने दर्शवली जाते.

(1) वरील दोन त्रिकोणांची एकरूपता खालील दोन प्रकाराने दर्शवली जाऊ शकते,
(a)\;\triangle ABC\cong \triangle PQR\quad (b)\;\triangle ACB\cong \triangle PRQ
(2) \triangle PRQ\cong \triangle ABC हे विधान अयोग्य आहे; कारण जर \triangle PRQ\cong \triangle ABC असेल तर बाजू AB \cong बाजू PR असा त्याचा अर्थ होतो आणि तो चूक आहे.

उदाहरण 3:

सोबतच्या आकृतीत हे दोन त्रिकोण दिलेले आहेत. ह्या दोन त्रिकोणाचे सारख्या खुणांनी दाखवलेले घटक एकरूप आहेत. ह्या त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूंच्या कोणत्या एकास एक संगतीत हे त्रिकोण एकरूप होतील, ते योग्य चिन्ह वापरून दाखवा आणि त्रिकोणांची एकरूपताही चिन्हाने दाखवा.
उत्तर:
वरील आकृतीमध्ये दोन त्रिकोण समाविष्ट आहेत, \triangle ABD आणि \triangle ACD. रेख AD हा दोन्ही त्रिकोणांची सामाईक बाजू आहे. AD स्वतःशीच एकरूप असल्याने ही संगती इंग्रजी एस (S) सारख्या खुणेने दाखवली आहे.

आपल्याला वरील दोन त्रिकोणांतील एकरूपता आणि शिरोबिंदूतील एकरूपता चिन्ह वापरून दाखवायची आहे.
संगती: (1)\;A\leftrightarrow A\quad (2)\;B\leftrightarrow C\quad (3)\;D\leftrightarrow D\quad आणि \triangle ABD\cong \triangle ACD

Go to top

त्रिकोण एकरूपतेच्या कसोट्या

त्रिकोणांची एकरूपता अभ्यासताना त्रिकोण एकरूपतेच्या कसोट्यांचा अभ्यास फार महत्वाचा ठरतो.

वर चर्चा केल्याप्रमाणे त्रिकोणांची एकरूपता त्यांच्या तीन संगत एकरूप घटकांच्या वेगवेगळ्या रचनांवरून निश्चित करता येते आणि ह्या रचनांनाच तत्रिकोणांच्या एकरूपतेच्या कसोट्या म्हणतात. आता आपण ह्या कसोट्यांचा अभ्यास करूया,

1) बा-को-बा (बाजू-कोन-बाजू) कसोटी:
ह्या कसोटीत त्रिकोणांच्या दोन बाजू आणि ह्या दोन बाजूंमुळे तयार होणारा कोन हे घटक एकास एक संगतीने एकरूप असतात आणि त्यामुळे ह्या त्रिकोणांचें इतर तीन घटकही एकरूप असतात. अशाप्रकारे हे दोन्ही त्रिकोण एकरूप असतात. खालील त्रिकोणांचे एकरूप घटक सारख्या खुणांनी दाखवलेले आहेत.
उदाहरणार्थ:

वरील दोन त्रिकोणांत,
(1) बाजू AB\cong बाजू PQ
(2) \angle B\cong \angle Q
(3) बाजू BC\cong बाजू QR
म्हणून हे दोन त्रिकोण बा-को-बा कसोटीने एकरूप होतात. \therefore \triangle ABC\cong \triangle PQR

2) बा-बा-बा (बाजू-बाजू-बाजू) कसोटी:
ह्या कसोटीत त्रिकोणांच्या तीन बाजू एकास एक संगतीने एकरूप असतात आणि त्यामुळे ह्या त्रिकोणांचें इतर तीन घटकही एकरूप असतात. अशाप्रकारे हे दोन्ही त्रिकोण एकरूप असतात. खालील त्रिकोणांचे एकरूप घटक सारख्या खुणांनी दाखवलेले आहेत.
उदाहरणार्थ:

वरील दोन त्रिकोणांच्या शिरोबिंदूंमधील संगती पुढील प्रमाणे आहे,
A\leftrightarrow P, B\leftrightarrow Q, C\leftrightarrow R

अशा प्रकारे दोन्ही त्रिकोणांचे शिरोबिंदू जुळवल्यानंतर आपल्याला त्यांच्या बाजूंविषयी खालील माहिती मिळते,
(1) \ell\left(AB\right)=\ell\left(PQ\right) म्हणून बाजू AB\cong बाजू PQ
(2) \ell\left(QR\right)=\ell\left(BC\right) म्हणून बाजू QR\cong बाजू QR
(3) \ell\left(CA\right)=\ell\left(RP\right) म्हणून बाजू CA\cong बाजू RP
म्हणून हे दोन त्रिकोण बा-बा-बा कसोटीने एकरूप होतात. म्हणजेच \triangle ABC\cong \triangle PQR

3) को-बा-को (कोन-बाजू-कोन) कसोटी:
ह्या कसोटीत त्रिकोणांचे दोन कोन आणि त्यांनी समाविष्ट केलेली बाजू एकास एक संगतीने एकरूप असतात आणि त्यामुळे ह्या त्रिकोणांचें इतर तीन घटकही एकरूप असतात. अशाप्रकारे हे दोन्ही त्रिकोण एकरूप असतात. खालील त्रिकोणांचे एकरूप घटक सारख्या खुणांनी दाखवलेले आहेत.

वरील दोन त्रिकोणांच्या शिरोबिंदूंमधील संगती पुढील प्रमाणे आहे,
A\leftrightarrow P, B\leftrightarrow Q, C\leftrightarrow R

अशा प्रकारे दोन्ही त्रिकोणांचे शिरोबिंदू जुळवल्यानंतर आपल्याला त्यांच्या दोन कोनांविषयी आणि त्या कोनांनी समाविष्ट केलेल्या बाजूविषयी खालील माहिती मिळते,
(1) m\angle B=m\angle Q म्हणून \angle B\cong \angle Q
(2) \ell\left(BC\right)=\ell\left(QR\right) म्हणून बाजू BC\cong बाजू QR
(3) m\angle C=m\angle R म्हणून \angle C\cong \angle R
म्हणून हे दोन त्रिकोण को-बा-को कसोटीने एकरूप होतात. म्हणजेच \triangle ABC\cong \triangle PQR.

4) को-को-बा (कोन-कोन-बाजू) कसोटी:
त्रिकोणांचे एकास एक संगतीने दोन कोन एकरूप असतील, तर त्या त्रिकोणांचा तिसरा कोन आपोआप एकरूप होतो कारण त्रिकोणाच्या तीनही कोनांच्या मापांची बेरीज 180^\circ असते. म्हणून एका त्रिकोणाचे कोणतेही दोन कोन आणि एका कोनाची लगतची बाजू दुसऱ्या त्रिकोणातील दोन कोन आणि एका कोनाची लगतची बाजू यांच्याशी एकरूप असतील, तर अशाप्रकारे हे दोन्ही त्रिकोण एकरूप असतात. खालील त्रिकोणांचे एकरूप घटक सारख्या खुणांनी दाखवलेले आहेत.

वरील दोन त्रिकोणांच्या शिरोबिंदूंमधील संगती पुढील प्रमाणे आहे,
A\leftrightarrow P, B\leftrightarrow Q, C\leftrightarrow R

अशा प्रकारे दोन्ही त्रिकोणांचे शिरोबिंदू जुळवल्यानंतर आपल्याला त्यांच्या दोन कोनांविषयी आणि एका कोनाच्या लगतच्या बाजूविषयी खालील माहिती मिळते,
(1) m\angle A=m\angle P म्हणून \angle A\cong \angle P
(2) m\angle B=m\angle Q म्हणून \angle B\cong \angle Q
(3) \ell\left(BC\right)=\ell\left(QR\right) म्हणून बाजू BC\cong बाजू QR
म्हणून हे दोन त्रिकोण को-को-बा कसोटीने एकरूप होतात. म्हणजेच \triangle ABC\cong \triangle PQR.

(5) काटकोन त्रिकोणांची कर्णभुजा कसोटी:
काटकोन oत्रिकोण: ज्या त्रिकोणाचा एक कोन काटकोन, म्हणजेच 90 अंशाचा असतो, त्याला काटकोन त्रिकोण म्हणतात.
काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णाची लांबी आणि एका बाजूची लांबी दिली असता काटकोन त्रिकोण काढता येतो. त्यामुळे एका काटकोन त्रिकोणाचे कर्ण आणि एक बाजू (भुजा) जर दुसऱ्या काटकोन त्रिकोणाच्या कर्ण आणि एका बाजूशी एकास एक संगतीने एकरूप असतील, तर ते दोन काटकोन त्रिकोण एकरूप असतात.

वरील दोन त्रिकोणांच्या शिरोबिंदूंमधील संगती पुढील प्रमाणे आहे,
A\leftrightarrow P, B\leftrightarrow Q, C\leftrightarrow R

अशा प्रकारे दोन्ही काटकोन त्रिकोणांचे शिरोबिंदू जुळवल्यानंतर आपल्याला त्यांच्या कर्णांविषयी आणि एका बाजूविषयी खालील माहिती मिळते,
(1) m\angle B=m\angle Q=90^\circ म्हणून \angle B\cong \angle Q
(2) \ell\left(AC\right)=\ell\left(PR\right) म्हणून कर्ण AC\cong कर्ण PQ
(3) \ell\left(AB\right)=\ell\left(PQ\right) म्हणून बाजू AB\cong बाजू PQ
म्हणून हे दोन त्रिकोण काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णभुजा कसोटीने एकरूप होतात. म्हणजेच \triangle ABC\cong \triangle PQR.

Go to top

उदाहरणं

प्रश्न 1: खाली काही आकृत्या दिल्या आहेत. त्या आकृत्‍यांतील त्रिकोणांच्या प्रत्‍येक जोडीत सारख्या खुणांनी दाखवलेले घटक एकरूप आहेत. प्रत्‍येक जोडीतील त्रिकोण कोणत्‍या कसोटीनुसार आणि शिरोबिंदूंच्या कोणत्‍या एकास एक संगतीनुसार एकरूप होतात, ते लिहा.
उदा 1:

उत्तर:
वर दिलेल्या दोन्ही त्रिकोणाच्या तीनही बाजू एकरूप असल्याने हे त्रिकोण बा-बा-बा कसोटीने एकरूप आहेत. त्याच प्रमाणे त्या दोन त्रिकोणातील संगती ABC\leftrightarrow PQR अशी दर्शवता येईल.

उदा 2:

दिलेल्या आकृतीत \triangle ABD आणि \triangle CBD, हे दोन त्रिकोण समाविष्ट आहेत. ह्या दोन त्रिकोणांमध्ये,

1) m\angle ADB=m\angle CDB म्हणून \angle ADB\cong \angle CDB.
2) m\angle ABD=m\angle CBD म्हणून \angle ABD\cong \angle CBD.
3) रेख BD ही सामाईक बाजू असल्याने ती बाजू स्वतःशीच एकरूप आहे. त्याच प्रमाणे ही बाजू वरील दोन एकरूप कोनांनी समाविष्ट केलेली बाजू आहे. म्हणून बाजू BD\cong बाजू BD.
म्हणून दिलेल्या आकृती मधील \triangle ABD आणि \triangle CBD, हे दोन त्रिकोण को-बा-को कसोटीने एकरूप आहेत.

त्याच प्रमाणे त्या दोन त्रिकोणातील संगती ABD\leftrightarrow CBD अशी दर्शवता येईल.

प्रश्न 2: खालील आकृत्‍यांमध्ये त्रिकोणांच्या प्रत्‍येक जोडीतील समान खुणांनी दाखवलेले घटक एकरूप आहेत. प्रत्येक आकृतीसोबत त्रिकोणांच्या एकरुपतेची कसोटी लिहिली आहे. त्‍या कसोटीने त्रिकोण एकरूप होण्यासाठी आणखी कोणती माहिती देणे आवश्यक आहे आणि ती माहिती दि ल्‍यावर त्रिकोण शिरोबिंदूंच्या कोणत्‍या एकास संगतीने एकरूप होतील, ते लिहा.

उदा 1:
कर्णभुजा कसोटी

उत्तर:
सोबतच्या आकृतीत दोन काटकोन त्रिकोण दिलेले आहेत; \triangle ABC आणि \triangle PQR.

हे दोन त्रिकोण, काटकोन त्रिकोण असल्याने m\angle ABC=m\angle PQR=90^\circ आणि म्हणून \angle ABC\cong \angle PQR.

तसेच बाजू AB\cong बाजू PQ.

आणि त्यामुळे ह्या दोन काटकोन त्रिकोणांचे कर्ण देखील एकरूप आहेत (म्हणजेच कर्ण AC\cong कर्ण PR) आणि ही माहिती देणे आवश्यक आहे.

त्रिकोणांच्या कर्णांची ही माहिती दिल्यानंतर ह्या दोन त्रिकोणांतील संगती ABC\leftrightarrow PQR अशी दर्शवता येईल.

उदा 2:
को-बा-को कसोटी

सोबतच्या आकृतीत \triangle ABC आणि \triangle CDA हे दोन त्रिकोण समाविष्ट आहेत.

m\angle BCA=m\angle CAD म्हणून \angle BCA\cong \angle CAD, ही कोनांमधील एकरूपता दिलेली आहे.

रेख AC ही सामाईक बाजू असल्याने ती बाजू स्वतःशीच एकरूप आहे. तसेच बाजू AC ही \angle BCA आणि \angle DAC ह्या दोन एकरूप कोनांनी समाविष्ट केलेली बाजू आहे. त्यामुळे m\angle BAC=m\angle ACD म्हणून \angle BAC\cong ACD ही माहिती देणे आवश्यक आहे.

\angle BAC\cong ACD ही माहिती दिल्यानंतर ह्या दोन त्रिकोणांतील संगती ABC\leftrightarrow CDA अशी दर्शवता येईल.

प्रश्न 3: पुढील आकृत्‍यांतील त्रिकोणांच्या प्रत्‍येक जोडीत सारख्या खुणांनी दाखवलेले घटक एकरूप आहेत. प्रत्‍येक जोडीतील त्रिकोण कोणत्‍या कसोटीनुसार आणि शिरोबिंदूच्या कोणत्‍या एकास एक संगतीनुसार एकरूप होतात, ते लिहा.

उदा 1:

दिलेल्या आकृतीत \triangle WXZ आणि \triangle WYZ हे दोन त्रिकोण समाविष्ट आहेत.
1) बाजू WX\cong बाजू WY.
2) बाजू WZ ही सामाईक बाजू असल्याने ती बाजू स्वतःशीच एकरूप आहे. म्हणून बाजू WZ\cong बाजू WZ.
3) \angle XWZ\cong \angle YWZ, कारण हे दोन्ही कोन सामायिक बाजू WZ आणि दोन्ही त्रिकोणाच्या एकरूप बाजू WX व बाजू WY ने समाविष्ट केलेले कोन आहेत.

म्हणून हे दोन त्रिकोण बा-को-बा कसोटीने आणि XWZ\leftrightarrow YWZ ह्या एकास एक संगतीने एकरूप आहेत.

उदा 2:

दिलेल्या आकृतीत \triangle ADB आणि \triangle ADC हे दोन काटकोन त्रिकोण समाविष्ट आहेत.

दोन्ही त्रिकोण काटकोन त्रिकोण असल्याने,
1) m\angle ADB=m\angle ADC=90^\circ, म्हणून \angle ADB\cong \angle ADC.
2) बाजू AB ही \triangle ABD चा कर्ण आहे, तसेच बाजू AC ही त्रिकोण ACD चा कर्ण आहे आणि हे दोन्ही कर्ण एकरूप आहेत, हे दिलेलं आहे. म्हणून बाजू AB\cong बाजू AC.
3) बाजू AD ही दोन्ही त्रिकोणांची सामायिक बाजू असल्याने ती बाजू स्वतःशीच एकरूप आहे. म्हणून बाजू AD\cong बाजू AD.

म्हणून हे दोन त्रिकोण काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णभुजा कसोटीने आणि BDA\leftrightarrow CDA ह्या एकास एक संगतीने एकरूप आहेत.

उदा 3:

दिलेल्या आकृतीत \triangle ABD आणि \triangle CDB हे दोन त्रिकोण समाविष्ट आहेत.

1) वर दिलेल्या आकृतीप्रमाणे बाजू AB\cong बाजू CD आणि बाजू AD\cong बाजू BC.

2) बाजू BD ही दोन्ही त्रिकोणांची सामायिक बाजू असल्याने ती बाजू स्वतःशीच एकरूप आहे. म्हणून बाजू BD\cong बाजू BD.

म्हणून हे दोन त्रिकोण बा-बा-बा कसोटीने आणि ABD\leftrightarrow CDB ह्या एकास एक संगतीने एकरूप आहेत.

उदा 4:

दिलेल्या आकृतीत \triangle ABC आणि \triangle PQR हे दोन त्रिकोण आहेत.

1) वरील आकृतीप्रमाणे \angle ABC\cong \angle PQR आणि \angle BAC\cong \angle QPR.

2) त्याच प्रमाणे बाजू AB\cong बाजू PQ.

वरील दोन त्रिकोणांत एकरूप बाजू ही दोन एकरूप कोनांनी समाविष्ट केलेली असल्याने हे दोन त्रिकोण बा-बा-बा कसोटीने आणि ABC\leftrightarrow PQR ह्या एकास एक संगतीने एकरूप आहेत.

उदा 5:

दिलेल्या आकृतीत \triangle BAD आणि \triangle CAD हे दोन त्रिकोण समाविष्ट आहेत.

1) शेजारील आकृतीप्रमाणे \angle DAB\cong \angle DAC आणि \angle ADB\cong \angle ADC.

2) त्याच प्रमाणे बाजू AB\cong बाजू AC

अशा प्रकारे ह्या दोन त्रिकोणांत दोन कोन एकरूप आहेत आणि एका कोनाच्या लगतची बाजू एकरूप असल्याने हे दोन त्रिकोण को-को-बा कसोटीने आणि BAD\leftrightarrow CAD ह्या एकास एक संगतीने एकरूप आहेत.

प्रश्न 4: पुढीलपैकी प्रत्‍येक जोडीतील त्रिकोणांत सारख्या खुणांनी दाखवलेले घटक एकरूप आहेत. प्रत्‍येक जोडीतील त्रिकोण, शिरोबिंदूच्या कोणत्‍या संगतीने आणि कोणत्‍या कसोटीने एकरूप आहेत हे लिहा. प्रत्‍येक जोडीतील त्रिकोणांचे उरलेले संगत एकरूप घटक लिहा.

उदा 1:
खालील आकृतीमध्ये \square ABCD च्या एकरूप बाजू सारख्या खुणांनी दाखवलेल्या आहेत. ह्या आकृतीतील एकरूप कोनांच्या जोड्या कोणत्या आहेत, ते लिहा.

दिलेल्या आकृतीत \triangle BAD आणि \triangle BCD हे दोन त्रिकोण समाविष्ट आहेत.

वर दिलेल्या आकृतीप्रमाणे बाजू AB\cong बाजू CB आणि बाजू AD\cong बाजू CD.
त्याच प्रमाणे बाजू BD ही दोन्ही त्रिकोणांची सामाईक बाजू असल्याने स्वतःशीच एकरूप आहे. बाजू BD\cong बाजू BD.

त्यामुळे दिलेले दोन्ही त्रिकोण बा-बा-बा कसोटीने आणि ABD\leftrightarrow CBD ह्या संगतीने एकरूप आहेत. म्हणून \triangle ABD\cong \triangle CBD.

दिलेल्या दोन्ही त्रिकोणांच्या तीनही बाजू एकरूप असल्याने ह्या त्रिकोणांचे संगत कोनही एकरूप होतात,
\angle ADB\cong \angle CDB
\angle ABD\cong \angle CBD
\angle BAD\cong \angle BCD

उदा 2:

दिलेल्या आकृतीत \triangle ABC आणि \triangle ADC हे दोन त्रिकोण समाविष्ट आहेत.

वर दिलेल्या आकृतीप्रमाणे बाजू AB\cong बाजू CD.

त्याच प्रमाणे बाजू AC ही दोन्ही त्रिकोणांची सामाईक बाजू असल्याने स्वतःशीच एकरूप आहे. बाजू AC\cong बाजू AC.

त्याच प्रमाणे \angle ABC\cong \angle ADC=90^\circ आणि त्यामुळे हे दोन्ही त्रिकोण काटकोन त्रिकोण आहेत. वर नमूद केल्याप्रमाणे ह्या त्रिकोणांच्या दोन बाजू एकरूप आहेत आणि त्यातील सामायिक बाजू AC ही ह्या दोन त्रिकोणांचा कर्ण आहे. म्हणजेच हे दोन त्रिकोण काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णभुजा कसोटीने आणि ABC\leftrightarrow ADC ह्या संगतीने ABC\leftrightarrow ADC एकरूप आहेत.

अशा प्रकारे ह्या दोन त्रिकोणाचे तीन घटक एकरूप असल्याने उरलेले तीन घटकही एकरूप होतात,
\angle BAC\cong \angle DCA
\angle ACB\cong \angle CAD
बाजू AD\cong बाजू BC

उदा 3:

दिलेल्या आकृतीत \triangle ABC आणि \triangle DEC हे दोन त्रिकोण समाविष्ट आहेत.

वर दिलेल्या आकृतीप्रमाणे बाजू AC\cong बाजू EC आणि बाजू BC\cong बाजू DC.

तसेच \angle ACB आणि \angle DCE हे विरुद्ध कोन असल्याने एकरूप आहेत. m\angle ACB=m\angle DCE, म्हणून \angle ACB\cong \angle DCE.
तसेच हे दोन्ही कोन वरील दोन एकरूप बाजूंच्या जोड्यांनी समाविष्ट केलेले कोन आहेत.

त्यामुळे दिलेले दोन्ही त्रिकोण बा-को-बा कसोटीने आणि ACB\leftrightarrow DCE ह्या संगतीने एकरूप आहेत.

अशा प्रकारे ह्या दोन त्रिकोणाचे तीन घटक एकरूप असल्याने उरलेले तीन घटकही एकरूप होतात,
\angle BAC\cong \angle DEC
\angle ABC\cong \angle EDC
बाजू AB\cong बाजू DE

उदा 4:

दिलेल्या आकृतीत \triangle ABC आणि \triangle ABD हे दोन त्रिकोण समाविष्ट आहेत.

वर दिलेल्या आकृतीप्रमाणे \angle ABC\cong \angle ABD आणि \angle ACB\cong \angle ADB.

तसेच बाजू AB ही दोन्ही त्रिकोणांची सामाईक बाजू असल्याने स्वतःशीच एकरूप आहे. बाजू AB\cong बाजू AB.
त्याचप्रमाणे ही बाजू वरील दोन एकरूप कोनांपैकी एका कोनाची संगत बाजू आहे.

त्यामुळे दिलेले दोन्ही त्रिकोण को-को-बा कसोटीने आणि ABC\leftrightarrow ADB ह्या संगतीने एकरूप आहेत.

अशा प्रकारे ह्या दोन त्रिकोणाचे तीन घटक एकरूप असल्याने उरलेले तीन घटकही एकरूप होतात,
\angle CAB\cong \angle DAB
बाजू AC\cong बाजू AD
बाजू BC\cong बाजू BD

Go to top

एक महत्वाचा अपवाद

त्रिकोणांची एकरूपता अभ्यासताना आपण आता एक महत्वाचा अपवाद लक्षात घेऊ,

एका त्रिकोणाच्या दोन बाजू आणि त्या बाजूंनी समाविष्ट न केलेला कोन हे दुसऱ्या त्रिकोणाच्या दोन बाजू आणि त्या बाजूंनी समाविष्ट न केलेल्या कोनाशी एकरूप असतील, तर असे दोन त्रिकोण एकरूप असतीलच असं नाही.

वरील दोन त्रिकोणांच्या शिरोबिंदूंमधील संगती पुढील प्रमाणे आहे,
A\leftrightarrow A, B\leftrightarrow B, C\leftrightarrow D

वर दिलेल्या आकृतीत दोन त्रिकोण समाविष्ट आहेत, \triangle ABC आणि \triangle ABD. ह्या दोन त्रिकोणांमध्ये \angle A आणि बाजू AB हे घटक सामायिक आहेत आणि म्हणून ते स्वतःशीच एकरूप आहेत. तसेच \triangle ABC ची बाजू BC आणि \triangle ABD ची बाजू BD ह्या एकरूप आहेत.

आपण या आधी त्रिकोणाच्या दोन बाजू आणि एक कोन एकरूप असणारी त्रिकोण एकरूपतेची बा-को-बा कसोटी शिकलो आहोत. बा-को-बा कसोटीमध्ये त्रिकोणाच्या दोन बाजू एकरूप असतात आणि त्या दोन बाजूंनी समाविष्ट केलेला कोन एकरूप असतो.

पण इथे हे दोन त्रिकोण बा-को-बा कसोटीने एकरूप होत नाहीत; कारण इथे दोन्ही त्रिकोणाच्या दोन बाजू आणि एक कोन जरी एकरूप असले तरी हा एकरूप कोन (म्हणजे इथे \angle A) हा बाजू AB\cong बाजू AB (सामायिक बाजू) आणि बाजू BC\cong बाजू BD ह्या एकरूप बाजूंनी समाविष्ट केलेला कोन नाही. हा महत्वाचा फरक लक्षात घ्या.

Go to top

Go to top

इयत्ता 8 वी गणित पाठ्यपुस्तक: इथे क्लिक करा

इयत्ता 8 वी गणिताच्या संपूर्ण मार्गदर्शनासाठी खालील लिंक्सवर क्लिक करा: