इयत्ता 8 वी संकीर्ण प्रश्नसंग्रह 1 हा परिमेय व अपरिमेय संख्या, समांतर रेषा व छेदिका, घातांक व घनमूळ, त्रिकोणाचे शिरोलंब व मध्यगा, विस्तार सूत्रे, बैजिक राशींचे अवयव, चलन, चौकोन रचना व प्रकार आणि सूट व कमिशन या विषयांवरील उजळणी प्रश्नसंग्रह आहे.
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 1
\square PQRS मध्ये m\angle P = m\angle R = 108^\circ व m\angle Q = m\angle S = 72^\circ तर पुढीलपैकी कोणत्‍या बाजू समांतर आहेत?
(A) बाजू PQ व बाजू QR
(B) बाजू PQ व बाजू SR
(C) बाजू SR व बाजू SP
(D) बाजू PS व बाजू PQ
उत्तर:
\square PQRS मध्ये m\angle P = m\angle R = 108^\circ आणि m\angle Q = m\angle S = 72^\circ, ह्याचा अर्थ \square PQRS चे समोरासमोरचे (संमुख) कोन समान मापाचे, म्हणजे एकरूप आहेत.
तसेच,
\begin{aligned} \\ & m\angle P+m\angle Q=180^\circ, \\ & m\angle Q+m\angle R=180^\circ, \\ & m\angle R+m\angle S=180^\circ\end{aligned} आणि m\angle S+m\angle P=180^\circ, ह्याचा अर्थ \square PQRS च्या लगतच्या कोनांची बेरीज 180^\circ आहे.
त्यामुळे \square PQRS हा समभुज चौकोन आहे. आणि बाजू PQ आणि बाजू SR ह्या बाजू एकमेकींना समांतर आहेत.
म्हणून पर्याय B ग्राह्य आहे.
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 2
खालील पैकी कोणता पर्याय तुम्हाला योग्य वाटतो?
(A) समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांचे लंबदुभाजक असतात.
(B) समभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांचे लंबदुभाजक असतात.
(C) आयताचे कर्ण परस्परांचे लंबदुभाजक असतात.
(D) पतंगाचे कर्ण परस्परांचे दुभाजक असतात.
उत्तर:
वरील पर्याय घाई न करता काळजीपूर्वक लक्ष देऊन वाचा.
वरील पहिल्या 3 पर्यायांमध्ये लंबदुभाजक असा उल्लेख आहे आणि 4थ्या पर्यायात दुभाजक असा उल्लेख आहे.
दुभाजक: दुभाजक म्हणजे “दोन सारख्या भागात विभाजन करणारा”. आपल्याला माहित आहे की जर रेख AB आणि रेख CD एकमेकांचे दुभाजक असतील आणि ते एकमेकांना O ह्या बिंदूत छेदत असतील, तर रेख OA = रेख OB आणि रेख OC = रेख OD.
लंबदुभाजक: जेंव्हा दोन रेषाखंड परस्परांचे दुभाजक असतात आणि त्याचबरोबर ते एकमेकांना काटकोनात छेदतात (90 अंशात छेदतात), तेंव्हा ते रेषाखंड परस्परांचे लंबदुभाजक असतात. म्हणजेच जर रेख AB आणि रेख CD एकमेकांचे लंबदुभाजक असतील आणि ते एकमेकांना O ह्या बिंदूत छेदत असतील, तर रेख OA = रेख OB आणि रेख OC = रेख OD. आणि
\begin{aligned} \\ & m\angle AOC=m\angle AOD= \\ & m\angle BOC=m\angle BOD=90^\circ\end{aligned}
वरील पर्यायांमधील दोन्ही कर्ण परस्परांचे लंबदुभाजक असलेला चौकोन म्हणजे समभुज चौकोन असल्याने पर्याय B ग्राह्य आहे.
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 3
19^3=6859 या वरून \sqrt[3]{0.006859}= किती?
उत्तर:
येथे लक्षात घ्या की 6859 ला 0.006859 मध्ये रूपांतरित करण्यासाठी 6859 ला 10,00,000 ने म्हणजेच 100 च्या घनाने (100^3)भागावं लागणार आहे. म्हणून आपण दिलेल्या राशीच्या दोन्ही बाजूंना 100^3 ने भागूयात,
\begin{aligned} \\ & 19^3=6859 \\ & \therefore \frac{19^3}{100^3}=\frac{6859}{100^3} \\ & \therefore \left(\frac{19}{100}\right)^3=\frac{6859}{100\times 100\times 100} \\ & \therefore \left(0.19\right)^3=\frac{6859}{1000000} \\ & \therefore \left(0.19\right)^3=0.006859 \\ & \mathbf{\therefore \sqrt[3]{0.006859}=0.19}\end{aligned}
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 4
पुढील संख्यांची घनमुळे काढा.
(1) 5832 (2) 4096
उत्तर:
(1) 5832 चं घनमूळ:
आपण आधी 5832 चे मूळ अवयव पाडून घेऊयात,
\begin{array}{ | c | c | } \hline 2 & 5832 \\ \hline 2 & 2916 \\ \hline 2 & 1458 \\ \hline 3 & 729 \\ \hline 3 & 243 \\ \hline 3 & 81 \\ \hline 3 & 27 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
वरील मूळअवयवांवरून आपल्याला \left(2\times 2\times 2\right), \left(3\times 3\times 3\right) आणि \left(3\times 3\times 3\right) असे 3 संच मिळाले आहेत.
=\left(8\right)\times \left(27\right)\times \left(27\right)
आता ह्या प्रत्येक कंसातील संख्येचं घनमूळ काढू आणि येणाऱ्या तीनही घनमूळांचा गुणाकार केला की आपल्याला 5832 चं घनमूळ मिळेल’
\begin{aligned} \\ & =\left(\sqrt[3]{8}\right)\times \left(\sqrt[3]{27}\right)\times \left(\sqrt[3]{27}\right) \\ & =\left(2\right)\times \left(3\right)\times \left(3\right) \\ & =18 \\ & \therefore \mathbf{\sqrt[3]{5832}=18}\end{aligned}
(2) 4096 चं घनमूळ:
आपण आधी 4096 चे मूळ अवयव पाडून घेऊयात,
\begin{array}{ | c | c | } \hline 2 & 4096 \\ \hline 2 & 2048 \\ \hline 2 & 1024 \\ \hline 2 & 512 \\ \hline 2 & 256 \\ \hline 2 & 128 \\ \hline 2 & 64 \\ \hline 2 & 32 \\ \hline 2 & 16 \\ \hline 2 & 8 \\ \hline 2 & 4 \\ \hline 2 & 2 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
वरील मूळअवयवांवरून आपल्याला \left(2\times 2\times 2\right), \left(2\times 2\times 2\right), \left(2\times 2\times 2\right) आणि \left(2\times 2\times 2\right) असे 4 संच मिळाले आहेत.
=\left(8\right)\times \left(8\right)\times \left(8\right)\times \left(8\right)
आता ह्या प्रत्येक कंसातील संख्येचं घनमूळ काढू आणि येणाऱ्या चारही घनमूळांचा गुणाकार केला की आपल्याला 4096 चं घनमूळ मिळेल’
\begin{aligned} \\ & =\left(\sqrt[3]{8}\right)\times \left(\sqrt[3]{8}\right)\times \left(\sqrt[3]{8}\right)\times \left(\sqrt[3]{8}\right) \\ & =\left(2\right)\times \left(2\right)\times \left(2\right)\times \left(2\right) \\ & =16 \\ & \therefore \mathbf{\sqrt[3]{4096}=16}\end{aligned}
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 5
a\;\alpha\;b, जेव्हा a = 25 तेव्हा b = 15 या वरून,
(1) b = 87 असताना a किती?
(2) a = 155 तर b किती?
उत्तर:
इथे a आणि b समचलनात आहेत.
\begin{aligned} \\ & a\;\alpha\;b \\ & \therefore a=kb \\ & \therefore k=\frac{a}{b} \\ & \therefore k=\frac{25}{15} \\ & \mathbf{\therefore k=\frac{5}{3}}\end{aligned}
(1) b = 87
\begin{aligned} \\ & a\;\alpha\;b \\ & \therefore a=kb \\ & \therefore a=\frac{5}{3}\times 87 \\ & \therefore a=\frac{435}{3} \\ & \mathbf{\therefore a=145}\end{aligned}
(2) a = 155
\begin{aligned} \\ & a\;\alpha\;b \\ & \therefore a=kb \\ & \therefore b=\frac{a}{k} \\ & \therefore b=\frac{155}{\frac{5}{3}} \\ & \therefore b=155\times \frac{3}{5} \\ & \therefore b=\frac{465}{5} \\ & \mathbf{\therefore b=93}\end{aligned}
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 6
p आणि q यात व्यस्त चलन आहे. जेंव्हा p = 12 असते, तेंव्हा q = 30 असते; तर खालील उदाहरणे सोडावा.
1) जर p =15 तर q = किती?
2) जर q = 18 तर p = किती?
उत्तर:
p आणि q यात व्यस्त चलन आहे.
\begin{aligned} \\ & \therefore p\;\alpha\;\frac{1}{q} \\ & \therefore p=k\times \frac{1}{q} \\ & \therefore k=p\times q \\ & \therefore k=12\times 30 \\ & \mathbf{\therefore k=360}\end{aligned}
1) जर p =15,
\begin{aligned} \\ & \therefore p\;\alpha\;\frac{1}{q} \\ & \therefore p=k\times \frac{1}{q} \\ & \therefore 15=360\times \frac{1}{q} \\ & \therefore q=\frac{360}{15} \\ & \mathbf{\therefore q=24}\end{aligned}
1) जर q =18,
\begin{aligned} \\ & \therefore p\;\alpha\;\frac{1}{q} \\ & \therefore p=k\times \frac{1}{q} \\ & \therefore p=360\times \frac{1}{18} \\ & \therefore p=\frac{360}{18} \\ & \mathbf{\therefore p=20}\end{aligned}
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 7
एक रेषा \ell काढा. त्या रेषेपासून 3.5 सेमी अंतरावर एक समांतर रेषा काढा.
उत्तर:
1) आधी रेषा \ell काढून घ्या.
2) नंतर शेजारील आकृतीमध्ये दाखवल्याप्रमाणे कंपासपेटीतील एका गुण्याची (गुण्या 1: ABC) काटकोन करणारी बाजू AB, रेषा \ell वर अशी ठेवा की त्या गुण्याची काटकोन करणारी दुसरी बाजू (बाजू BC) रेषा \ell ला लंब असेल.
3) आता कंपासपेटीतील दुसरा गुण्या (गुण्या 2: PQR) घ्या आणि त्याची काटकोन करणारी बाजू QR, गुण्या 1 च्या बाजू BC ला आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे अशी जुळवून घ्या की BQ हे अंतर 3.5 सेमी असेल.
4) आता गुण्या 2 च्या बाजू PQ लागून (बिंदू P आणि बिंदू Q मधून जाणारी) रेषा m काढा.
5) रेषा m ही रेषा \ell ला समांतर असेल.
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 8
\left(256\right)^\frac{5}{7} ही संख्या कोणत्‍या संख्येच्या कितव्या मूळाचा कितवा घात आहे ते लिहा.
उत्तर:
\left(256\right)^\frac{5}{7} ही संख्या म्हणजे 256 च्या सातव्या मुळाचा पाचवा घात आहे.
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 9
विस्तार करा,
\begin{aligned} \\ & 1) \left(5a-7\right)\left(5a-9\right) \\ & 2) \left(2p-3q\right)^3 \\ & 3) \left(x+\frac{1}{2}\right)^3\end{aligned}
उत्तर:
1) \left(5a-7\right)\left(5a-9\right) चा विस्तार:
\begin{aligned} \\ \left(5a-7\right)\left(5a-9\right)&=(5a)^2-(5a\times 9)-(7\times 5a)+(7\times 9) \\ &=25a^2-45a-35a+63 \\ &=25a^2-80a+63\end{aligned}
2) \left(2p-3q\right)^3 चा विस्तार करण्यासाठी आपल्याला \left(a-b\right)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 हे विस्तार सूत्र वापरावं लागणार आहे.
\begin{aligned} \\ \therefore \left(2p-3q\right)^3&=(2p)^3-3\times (2p)^2\times (3q)+3\times (2p)\times (3q)^2-(3q)^3 \\ &=8p^3-[3\times (4p^2)\times (3q)]+[3\times (2p)\times (9q^2)]-(27q^3) \\ &=8p^3-36p^2q+54pq^2-27q^3\end{aligned}
3) \left(x+\frac{1}{2}\right)^3 चा विस्तार करण्यासाठी आपल्याला \left(a+b\right)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 हे विस्तार सूत्र वापरावं लागणार आहे.
\begin{aligned} \\ \therefore \left(x+\frac{1}{2}\right)^3&=\left(x\right)^3+\left[3\times \left(x\right)^2\times \left(\frac{1}{2}\right)\right]+\left[3\times \left(x\right)\times \left(\frac{1}{2}\right)^2\right]+\left(\frac{1}{2}\right)^3 \\ &=x^3+\frac{3x^2}{2}+\frac{3x}{4}+\frac{1}{8}\end{aligned}
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 10
एक विशालकोन त्रिकोण काढा. त्या त्रिकोणाच्या सर्व मध्यगा काढून त्यांचा संपात बिंदू दाखवा.
उत्तर:
मध्यगा: त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूपासून समोरच्या बाजूच्या मध्यबिंदूला जोडणाऱ्या रेषाखंडाला त्रिकोणाची मध्यगा म्हणतात. प्रत्येक त्रिकोणाला 3 मध्यगा असतात. ह्या तीनही मध्यगा एकमेकींना ज्या बिंदूत छेदतात, त्या बिंदुला त्या त्रिकोणाचा मध्यगासंपात बिंदू म्हणतात.
इथे त्रिकोण ABC हा विशालकोन त्रिकोण आहे. रेख AP, रेख BQ आणि रेख CR ह्या त्रिकोण ABC च्या मध्यगा आहेत. बिंदू O हा त्रिकोण ABC चा मध्यगासंपात बिंदू आहे.
मध्यगा AP मुळे \ell\left(BP\right)=\ell\left(PC\right),
मध्यगा BQ मुळे \ell\left(AQ\right)=\ell\left(QC\right),
मध्यगा CR मुळे \ell\left(AR\right)=\ell\left(RB\right).
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 11
\triangle ABC असा काढा की \ell\left(BC\right)=5.5 सेमी m\angle ABC=90^\circ,\;\ell\left(AB\right)=4 सेमी या त्रिकोणाचा शिरोलंबसंपात बिंदू दाखवा.
उत्तर:
शिरोलंब: त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूपासून समोरच्या बाजूवर टाकलेल्या लंबाला त्या त्रिकोणाचा शिरोलंब म्हणतात. म्हणजेच शिरोलंब हा त्रिकोणाच्या समोरच्या बाजूला काटकोनात (90 अंशात) छेदतो.
ह्या उदाहरणात त्रिकोण ABC असा काढायचा आहे की m\angle ABC=90^\circ. ह्याचा अर्थ त्रिकोण ABC हा काटकोन त्रिकोण आहे.
1) शेजारील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे रेख BP हा त्रिकोण ABC चा एक शिरोलंब आहे.
2) त्रिकोण ABC हा काटकोन त्रिकोण असल्याने बाजू AB ही शिरोबिंदू A पासून समोरची बाजू BC वर टाकलेला ह्या त्रिकोणाचा दुसरा शिरोलंब आहे.
3) त्याचप्रमाणे बाजू CB ही शिरोबिंदू C पासून समोरची बाजू AB वर टाकलेला ह्या त्रिकोणाचा तिसरा शिरोलंब आहे.
4) त्रिकोणाचे तीनही शिरोलंब ज्या बिंदूत एकमेकांना छेदतात, त्या बिंदुला त्या त्रिकोणाचा शिरोलंबसंपातबिंदू म्हणतात. त्रिकोण ABC चे तीनही शिरोलंब बिंदू B मध्ये एकमेकांना छेदत असल्याने बिंदू B हा त्रिकोण ABC चा शिरोलंबसंपातबिंदू आहे.
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 12
बसचा वेग ताशी 48 किमी असताना एका गावाहून दुसऱ्या गावाला जायला 5 तास लागतात. बसचा वेग ताशी 8 किमीने कमी केला, तर तेवढ्याच प्रवासाला किती तास लागतील ते काढा. चलनाचा प्रकार ओळखून उदाहरण सोडवा.
उत्तर:
इथे लक्षात घ्या की जेंव्हा बसचा वेग वाढतो, तेंव्हा प्रवासाचा कालावधी कमी होतो आणि जेंव्हा बसचा वेग कमी होतो, तेंव्हा प्रवासाचा कालावधी वाढतो. म्हणजेच बसचा वेग आणि प्रवासाचा कालावधी हे व्यस्त चलनात (व्यस्त प्रमाणात) आहेत.
जर a = बसचा ताशी वेग आणि b = प्रवासाचा कालावधी असेल, तर
\begin{aligned} \\ & a\;\alpha\;\frac{1}{b} \\ & \therefore a=k\times\frac{1}{b}\end{aligned}
आपल्याला माहित आहे की,
a=48 किमी बसचा ताशी वेग.
b = 5 तास प्रवासाचा कालावधी.
ह्यावरून आपण आधी स्थिरांक k ची किंमत काढून घेऊ,
\begin{aligned} \\ & a=k\times \frac{1}{b} \\ & \therefore 48=k\times \frac{1}{5} \\ & \therefore k=48\times 5 \\ & \mathbf{\therefore k=240} \\ \end{aligned}
आता जर बसचा वेग ताशी 8 किमीने कमी केला, तर प्रवासाचा कालावधी किती असेल, हे आपल्याला काढायचे आहे.
बसचा वेग ताशी 8 किमीने कमी केल्यावर बसचा वेग = (48 – 8) = 40 किमी प्रति तास होतो.
\begin{aligned} \\ & \therefore a=40 \\ & \therefore a=k\times \frac{1}{b} \\ & \therefore 40=240\times \frac{1}{b} \\ & \therefore b=\frac{240}{40} \\ & \mathbf{\therefore b=6}\end{aligned}
म्हणजेच बसचा वेग ताशी 8 किमीने कमी केल्याने प्रवासाचा कालावधी वाढून 6 तास होतो.
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 13
\triangle ABC च्या रेख AD व रेख BE या मध्यगा आहेत. बिंदू G हा मध्यगा संपातबिंदू आहे. जर \ell\left(AG\right)=5 सेमी, तर \ell\left(GD\right)= किती आणि जर \ell\left(GE\right)=2 सेमी तर \ell\left(BE\right)= किती ?
उत्तर:
1) जर \ell\left(AG\right)=5 सेमी असेल तर,
\ell\left(AD\right)=\ell\left(AG\right)+\ell\left(GD\right)
पण आपल्याला माहित आहे की मध्यगासंपात बिंदूमुळे मध्यगांची 2:1 ह्या प्रमाणात विभागणी होते.
\begin{aligned} \\ & \therefore \ell\left(AG\right)=2\times \ell\left(GD\right) \\ & \therefore \ell\left(GD\right)=\frac{1}{2}\times \ell\left(AG\right) \\ & \therefore \ell\left(GD\right)=\frac{1}{2}\times 5 \\ & \mathbf{\therefore \ell\left(GD\right)=2.5}\end{aligned}
2) जर \ell\left(GE\right)=2 सेमी असेल तर,
\ell\left(BE\right)=\ell\left(BG\right)+\ell\left(GE\right)
पण आपल्याला माहित आहे की मध्यगासंपात बिंदूमुळे मध्यगांची 2:1 ह्या प्रमाणात विभागणी होते.
\begin{aligned} \\ & \therefore \ell\left(BG\right)=2\times \ell\left(GE\right) \\ & \therefore \ell\left(BG\right)=2\times \left(2\right) \\ & \therefore \ell\left(BG\right)=4 \\ & \therefore \ell\left(BE\right)=\ell\left(BG\right)+\ell\left(GE\right) \\ & \therefore \ell\left(BE\right)=4+2 \\ & \mathbf{\therefore \ell\left(BE\right)=6}\end{aligned}
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 14
खालील परिमेय संख्या दशांश रुपात लिहा.
उत्तर:
\begin{aligned} \\ 1) \frac{7}{9}&=0.7777777777777777777777777777777... \\ &=0.\dot{7}\end{aligned}
\begin{aligned} \\ 2) \frac{11}{7}&=1.5714285714285714285714285714286... \\ &=1.\overline{571428}\end{aligned}
\begin{aligned} \\ 3) \frac{5}{16}&=0.3125\end{aligned}
\begin{aligned} \\ 4) \frac{8}{13}&=0.61538461538461538461538461538462... \\ &=0.\overline{615384}\end{aligned}
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 15
अवयव पाडा.
\begin{aligned} \\ & \mathbf{1)\;3x^2-4x+1} \\ & \mathbf{2)\;2y^2-11y+5} \\ & \mathbf{3)\;x^2-2x-80}\end{aligned}
उत्तर:
\mathbf{1)\;3x^2-4x+1}
ह्या वर्गत्रिपदीचे अवयव काढण्यासाठी आपल्याला \left(ax^2+x\left(a+b\right)+ab\right) हे सूत्र वापरावे लागणार आहे. ह्या सूत्राप्रमाणे,
ax^2=3x^2, x(a+b)=x(-4) आणि ab=1
इथे (a+b) = -4 आहे आणि ab = 1 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज -4 आहे आणि त्यांचा गुणाकार 1 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 4 चे अवयव पाडूयात,
\begin{array}{ | c | c | }\hline 2 & 4 \\ \hline 2 & 2 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
\therefore (a+b)=-(2\times 2)=-4, पण ab=-(2+2)=-4 होतात, 1 नाही.
मग आता \left(a+b\right)=-4 आणि ab=1 काढायला आपल्याला पुढील पद्धत वापरावी लागते, ती लक्षपूर्वक बघा.
आपली वर्गत्रिपदी 3x^2-4x+1 आहे. ह्यातल्या 3x मधल्या 3 ने शेवटच्या 1 ला गुणायचं.
\therefore \left(3\times 1\right)=3
आता आपण 3 चे अवयव पाडूयात,
\begin{array}{ | c | c | }\hline 3 & 3 \\ \hline 1 & 1 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
\therefore (a+b)=-(3+1) आणि \therefore \left(3\times 1\right)=3.
आता आपण ही वर्ग त्रिपदी खालील प्रमाणे सोडवूयात,
\begin{aligned} \\ 3x^2-4x+1 \\ \therefore 3x^2-4x+1&=3x^2-3x-x+1 \\ &=3x(x-1)-1(x-1)\\ &=(3x-1)(x-1)\end{aligned}
म्हणून \mathbf{(3x-1)(x-1)} हे 3x^2-4x+1 चे अवयव आहेत.
\mathbf{2)\;2y^2-11y+5}
ह्या वर्गत्रिपदीचे अवयव काढण्यासाठी आपल्याला \left(ax^2+x\left(a+b\right)+ab\right) हे सूत्र वापरावे लागणार आहे. ह्या सूत्राप्रमाणे,
ax^2=2y^2, x(a+b)=y(-11) आणि ab=5
इथे (a+b) = -11 आहे आणि ab = 5 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज -11 आहे आणि त्यांचा गुणाकार 5 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 11 चे अवयव पाडूयात,
\begin{array}{ | c | c | }\hline 11 & 11 \\ \hline 1 & 1 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
\therefore (a+b)=-(11\times 1)=-11, पण ab=-(11+1)=-12 होतात, 5 नाही.
मग आता \left(a+b\right)=-11 आणि ab=5 काढायला आपल्याला पुढील पद्धत वापरावी लागते, ती लक्षपूर्वक बघा.
आपली वर्गत्रिपदी 2y^2-11y+5 आहे. ह्यातल्या 2y मधल्या 2 ने शेवटच्या 5 ला गुणायचं.
\therefore \left(2\times 5\right)=10
आता आपण 10 चे अवयव पाडूयात,
\begin{array}{ | c | c | }\hline 2 & 10 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
10=2\times 5=10\times 1
\therefore (a+b)=-(10+1) आणि \therefore \left(10\times 1\right)=10.
आता आपण ही वर्ग त्रिपदी खालील प्रमाणे सोडवूयात,
\begin{aligned} \\ 2y^2-11y+5 \\ \therefore 2y^2-11y+5&=2y^2-10y-y+5 \\ &=2y(y-5)-1(y-5)\\ &=(2y-1)(y-5)\end{aligned}
म्हणून \mathbf{(2y-1)(y-5)} हे 2y^2-11y+5 चे अवयव आहेत.
\mathbf{3)\;x^2-2x-80}
ह्या वर्गत्रिपदीचे अवयव काढण्यासाठी आपल्याला \left(ax^2+x\left(a+b\right)+ab\right) हे सूत्र वापरावे लागणार आहे. ह्या सूत्राप्रमाणे,
ax^2=x^2, x(a+b)=-2x आणि ab=-80
इथे (a+b) = -2 आहे आणि ab = -80 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज -2 आहे आणि त्यांचा गुणाकार -80 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 80 चे अवयव पाडूयात,
\begin{array}{ | c | c | }\hline 2 & 80 \\ \hline 2 & 40 \\ \hline 2 & 20 \\ \hline 2 & 10 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
\therefore 80=(2\times 2\times 2)\times(2\times 5)
\therefore (a+b)=-10+8 आणि \left(-10\times 8\right)=-80
आता आपण ही वर्ग त्रिपदी खालील प्रमाणे सोडवूयात,
\begin{aligned} \\ x^2-2x-80 \\ \therefore x^2-2x-80&=x^2-10x+8x-80 \\ &=x(x-10)+8(x-10)\\ &=(x+8)(x-10)\end{aligned}
म्हणून \mathbf{(x+8)(x-10)} हे x^2-2x-80 चे अवयव आहेत.
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 16
एका टीव्हीची किंमत 50,000 रुपये आहे. तो टीव्ही दुकानदाराने 15% सूट देऊन विकला तर गिऱ्हाईकाला तो केवढ्याला पडला असेल?
उत्तर:
टीव्हीची किंमत 50,000 रुपये आहे.
दुकानदाराने टीव्हीच्या किमतीवर 15% सूट दिली आहे. म्हणजे जर टीव्हीची किंमत 100 असेल तर 15% सूट दिल्याने त्या टीव्हीची किंमत (100 – 15) = 85 रुपये होईल.
मग जर टीव्हीची किंमत 50,000 रुपये असेल तर 15% सूट दिल्यावर टीव्हीची किंमत किती रुपयांनी कमी होईल ते आधी आपण काढून घेऊ,
\begin{aligned} \\ \therefore \frac{500\cancel{00}}{\cancel{100}} \times 15&=500\times 15 \\ &=7500\end{aligned}
आता सुटीची 7500 रुपये रक्कम टीव्हीच्या मूळ किमतीमधून वजा केली की आपल्याला टीव्हीची विक्रीची किंमत मिळेल.
\therefore (50,000-7500)=42,500
म्हणजे गिऱ्हाईकाला टीव्ही 42,500 रुपयांना पडेल.
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 17
प्राचीने आपला फ्लॅट दलालामार्फत स्वराला 88,00,000 रुपयांना विकला. दलालाने दोघींकडून 2% दराने दलाली घेतली; तर दलालाला दलालीचे एकूण किती रुपये मिळाले?
उत्तर:
फ्लॅटची किंमत = 88,00,000 रुपये.
2% दलाली म्हणजे जर फ्लॅटची किंमत 100 रुपये असेल तर दलाली 2 रुपये असेल. मग जर फ्लॅटची किंमत 88,00,000 रुपये असेल तर दलालीची रक्कम किती असेल, ते आपल्याला काढायचे आहे.
\begin{aligned} \\ \therefore \frac{88,00,0\cancel{00}}{\cancel{100}} \times 2&=88,000\times 2 \\ &=1,76,000\end{aligned}
पण दलालाने प्राची आणि स्वरा दोघींकडून 2% दलाली घेतली आहे.
म्हणून दलालाला मिळालेली दलालीची एकूण रक्कम =1,76,000\times 2=\mathbf{3,52,000} रुपये.
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 18
\squareABCD समांतरभुज चौकोन असा काढा की \ell\left(DC\right)=5.5 सेमी, m\angle D=45^\circ, \ell\left(AD\right)=4 सेमी.
उत्तर:
प्रश्नसंग्रह : उदाहरण 19
आकृतीत रेषा \ell\parallel रेषा m तसेच रेषा p\parallel रेषा q. या वरून m\angle a, m\angle b, m\angle c, m\angle d ची मापे काढा.
उत्तर:
| कोन = माप | कारण |
|---|---|
| m\angle a=m\angle x=78^\circ | संगत कोन एकरूप असतात. |
| m\angle d=m\angle a=78^\circ | संगत कोन एकरूप असतात. |
| m\angle b=m\angle d=78^\circ | विरुद्ध कोन एकरूप असतात. |
| m\angle y=m\angle x=78^\circ | संगत कोन एकरूप असतात. |
| \begin{aligned} \\ m\angle c&=(180^\circ-m\angle y) \\ &=(180^\circ-78^\circ) \\ &=102^\circ\end{aligned} | सरळ कोनांची बेरीज 180^\circअसते. |
इयत्ता 8 वीचे पाठयपुस्तक: इथे क्लिक करा