इयत्ता 8 वी समांतर रेषा व छेदिका सोप्या शब्दात : समांतर रेषा व छेदिका या भूमितीतील महत्वाच्या संकल्पना आहेत. दोन रेषा एकमेकींना कधीही न छेदता एका प्रतलात सरळ जात असतील, तर त्या समांतर रेषा असतात. जर एखादी तिसरी रेषा या समांतर रेषांना छेदत असेल, तर ती त्यांची छेदिका असते.
समांतर रेषा म्हणजे काय?
एकाच प्रतलात असणाऱ्या आणि एकमेकींना न छेदणाऱ्या रेषांना समांतर रेषा म्हणतात (एका प्रतलात म्हणजे एकाच पृष्ठभागावर किंवा एकाच पातळीत असणे).
वरील आकृतींमध्ये रेषा A आणि रेषा B ह्या एकमेकींना समांतर आहेत कारण त्या P1 ह्या एकाच प्रतलात आहेत आणि त्या रेषा एकमेकिंना न छेदणाऱ्या आहेत. तसेच रेषा C आणि रेषा D ह्या एकमेकींना समांतर आहेत कारण त्या P2 ह्या एकाच प्रतलात आहेत आणि त्या रेषा एकमेकिंना न छेदणाऱ्या आहेत.
पण रेषा A आणि रेषा B ह्या रेषा C किंवा रेषा D ला समांतर नाहीत कारण त्या दोन भिन्न प्रतलात आहेत.
लक्षात ठेवा:
- समांतर रेषा ह्या न छेदणाऱ्या रेषा असल्या पाहिजेत.
- आणि त्या एकाच प्रतलात असल्या पाहिजेत.
छेदिका म्हणजे काय?
एखादी रेषा दोन किंवा अधिक रेषांना भिन्न बिंदूंत छेदत असेल तर अशा रेषेला त्या रेषांची छेदिका असं म्हणतात.
छेदिकेमुळे तयार होणारे कोन
| संगत कोन | आंतर कोन | आंतरव्युत्क्रम कोन | बाह्यव्युत्क्रम कोन |
|---|---|---|---|
| \angle AMP आणि \angle MNR | \angle PMN आणि \angle MNR | \angle PMN आणि \angle MNS | \angle AMP आणि \angle BNS |
| \angle PMN आणि \angle RNB | \angle QMN आणि \angle MNS | \angle QMN आणि \angle MNR | \angle AMQ आणि \angle RNB |
| \angle AMQ आणि \angle MNS | |||
| \angle QMN आणि \angle SNB |
समांतर रेषांचे गुणधर्म
| संगत कोन | व्युत्क्रम कोन | आंतर कोन |
| समांतर रेषांच्या छेदिकेमुळे तयार होणाऱ्या संगत कोनांच्या प्रत्येक जोडीतील कोन एकमेकांशी एकरूप असतात. | समांतर रेषांच्या छेदिकेमुळे तयार होणाऱ्या व्युत्क्रम कोनांच्या प्रत्येक जोडीतील कोन परस्परांशी एकरूप असतात. | समांतर रेषांच्या छेदिकेमुळे तयार होणाऱ्या आंतरकोनांच्या प्रत्येक जोडीतील कोनांच्या मापंची बेरीज 180 अंश असते. |
| दोन एकप्रतलीय रेषांना एका छेदिकेने छेदल्यावर तयार होणारी संगत कोनांची एक जोडी एकरूप असेल तर त्या रेषा समांतर असतात. | दोन एकप्रतलीय रेषांना एका छेदिकेने छेदल्यावर तयार होणारी व्युत्क्रम कोनांची एक जोडी एकरूप असेल तर त्या रेषा समांतर असतात. | दोन एकप्रतलीय रेषांना एका छेदिकेने छेदल्यावर तयार होणारी आंतरकोनांची एक जोडी पूरक असेल तर त्या रेषा समांतर असतात. (ज्या कोनांच्या मापांची बेरीज 180 अंश असते, त्या कोनांना पूरक कोन म्हणतात.) |
समांतर रेषा व छेदिका यांमुळे तयार होणाऱ्या विविध कोनांतील नातं
| संगत कोनांच्या जोड्या | आंतरव्युत्क्रम कोनांच्या जोड्या | बाह्यव्युत्क्रम कोनांच्या जोड्या | आंतरकोनांच्या जोड्या |
| \angle a = \angle p | \angle d = \angle q | \angle a = \angle r | m\angle d + m\angle p = 180^\circ |
| \angle b = \angle q | \angle c = \angle p | \angle b = \angle s | m\angle c +m\angle q = 180^\circ |
| \angle d = \angle s | |||
| \angle c = \angle r |
खालील महत्वाच्या गोष्टी लक्षात ठेवा:
- इथे \angle a आणि \angle b ह्या दोन कोनांची बेरीज ही 180^\circ असते, कारण (\angle a + \angle b) हा सरळ कोन आहे. वरील आकृतीवर कोनमापक ठेऊन ह्याची खात्री करून घ्या.
- त्याच प्रमाणे \angle c आणि \angle d हे देखील सरळ कोन आहेत आणि त्यांची बेरीज देखील 180^\circ आहे.
- म्हणजेच \angle a, \angle b, \angle c आणि \angle d ह्यांची बेरीज 360^\circ आहे.
- विरुद्ध कोन हे नेहमी एका मापाचे किंवा एकरूप असतात.
\angle a = \angle c, \angle b = \angle d, \angle p = \angle r आणि \angle q = \angle s - वरील सर्व नियम जसेच्या तसे \angle p, \angle q, \angle r आणि \angle s साठी लागू होतात.
आता आपण बघू की जर आपल्याला ह्यातील एका कोनाचे माप माहित असेल, तर इतर 7 कोनांची मापं आपल्याला काढता येतील का.
उदाहरण:
m\angle d = 60^\circ असेल तर इतर 7 कोनांची मापं काढा.
आता आपण वरील संगतकोन आणि आंतर व बाह्यव्युत्क्रम कोनांचा तक्ता विचारात घेऊन इतर 7 कोनांची मापं काढूयात,
| कोन | माप | वरील तक्त्याप्रमाणे |
| d | 60^\circ | दिलेला कोन |
| q | 60^\circ | \angle q=\angle d (आंतरव्युत्क्रम कोन) |
| s | 60^\circ | \angle s=\angle d (संगत कोन) |
| b | 60^\circ | \angle b=\angle q (संगत कोन) |
| a | 120^\circ | m\angle a=( 180^\circ-m\angle b) |
| p | 120^\circ | \angle p=\angle a (संगत कोन) |
| c | 120^\circ | \angle c=\angle p (आंतरव्युत्क्रम कोन) |
| r | 120^\circ | \angle r=\angle c (संगत कोन) |
आता आपलं उत्तर पडताळून बघू:
(\angle a + \angle b + \angle c + \angle d) = (120^\circ + 60^\circ + 120^\circ + 60^\circ) = 360^\circ
(\angle p + \angle q + \angle r + \angle s) = (120^\circ + 60^\circ + 120^\circ + 60^\circ) = 360^\circ
म्हणजे आपल्याला एका कोनाचे माप माहित असेल तर आपण इतर 7 कोनांची मापं काढू शकतो.
तेंव्हा आपण वर शिकलेल्या संगत कोन, आंतरव्युत्क्रम कोन आणि बाह्यव्युत्क्रम कोन ह्या संकल्पना एकदम पक्क्या लक्षात ठेवायच्या.
उदाहरणं
उदाहरण 1:
शेजारील आकृतीत m\angle{a} = (x + 20) आणि m\angle{q} = (3x + 20) तर x ची किंमत काढा.
उत्तर:
m\angle a आणि m\angle p हे संगत कोण असल्याने एकरूप आहेत, म्हणजेच त्यांची मापं सामान आहेत.
\therefore m\angle a = m\angle p = (x + 20)
\angle p आणि \angle q हे हे सरळकोन असल्याने, त्यांची बेरीज 180o असते.
\begin{aligned} \\ & \therefore m\angle p + m\angle q = 180 \\ & \therefore (x + 20) + (3x + 20) = 180 \\ & \therefore 4x = 180 - ( 20 + 20) \\ & \therefore 4x = 180 - 40 \\ & \therefore 4x = 140 \\ & \therefore x = \frac{140}{4} \\ & \therefore x = 35^\circ\end{aligned}
उदाहरण 2:
शेजारील आकृतीत कोनांची मापं दिलेली आहेत, त्यावरून x ची किंमत काढा.
उत्तर:
हे दोन्ही कोन आंतरकोन असल्याने त्यांची बेरीज 180^\circ असते, हे वर दिलेल्या तक्त्यावरून स्पष्ट आहे.
\begin{aligned} \\ & \therefore 2x + 3x = 180 \\ & \therefore 5x = 180 \\ & \therefore x = \frac{180}{5} \\ & \therefore x = 36^\circ\end{aligned}उदाहरण 3:
शेजारील आकृतीत कोनांची मापं दिलेली आहेत, त्यावरून x ची किंमत काढा.
उत्तर:
वरील आकृती मध्ये \angle a हा 2x चा विरुद्ध कोन असल्याने m\angle a = 2x.
त्याच प्रमाणे \angle a आणि 4x हे आंतरकोन असल्याने त्यांची बेरीज 180^\circ असते.
\begin{aligned} \\ & \therefore 2x + 4x = 180 \\ & \therefore 6x = 180 \\ & \therefore x = \frac{180}{6} \\ & \therefore x = 30^\circ\end{aligned}उदाहरण 4:
शेजारील आकृतीत m\angle b = 40^\circ आणि m\angle v = 70^\circ आहे, त्यावरून \angle g आणि \angle r ची मापं काढा.
उत्तर:
| m\angle d=m\angle b=40^\circ (विरुद्ध कोन) m\angle s = m\angle d = 40^\circ (संगत कोन) m\angle s + m\angle r = 180^\circ(सरळ कोन) \begin{aligned} \\ & \therefore m\angle r=180^\circ-m\angle s \\ & \therefore m\angle r=180^\circ-40^\circ \\ & \mathbf{\therefore m\angle r=140^\circ} \end{aligned} | m\angle t = m\angle v = 70^\circ (विरुद्ध कोन) m\angle g + m\angle t = 180^\circ (आंतर कोन) \begin{aligned} \\ & \therefore m\angle g = 180^\circ - m\angle t \\ & \therefore m\angle g = 180^\circ - 70^\circ \\ & \mathbf{\therefore m\angle g = 110^\circ}\end{aligned} |
उदाहरण 5:
शेजारील आकृतीत रेषा m \parallel रेषा n आहे. रेषा j \parallel रेषा k आहे. m\angle b = 80^\circ आहे, त्यावरून \angle f, \angle s आणि \angle u च्या किमती काढा.
उत्तर:
महत्वाचे: या उदाहरणात रेषा m आणि रेषा n ह्या एकमेकींना समांतर आहेत, त्याच प्रमाणे रेषा j आणि रेषा k ह्या छेदिका देखील एकमेकींना समांतर आहेत. आणि ह्यामुळे आपल्याला रेषा m आणि रेषा n ह्या रेषांमुळे मिळणाऱ्या संगत कोन, आंतर व बाह्यव्युत्क्रम कोन, आंतरकोनांच्या संचाप्रमाणे रेषा j आणि रेषा k मुळे देखील संगत कोन, आंतर व बाह्यव्युत्क्रम कोन, आंतरकोनांचा संच मिळणार आहे.
| कोनाचा प्रकार | रेषा m आणि रेषा n मुळे तयार होणारे कोन | रेषा j आणि रेषा k मुळे तयार होणारे कोन |
| संगत कोन | \angle a = \angle p \angle d = \angle s \angle b = \angle q \angle c = \angle r \angle f = \angle t \angle g = \angle u \angle e = \angle w \angle h = \angle v | \angle a = \angle f \angle b = \angle e \angle d = \angle g \angle c = \angle h \angle p = \angle t \angle q = \angle w \angle s = \angle u \angle r = \angle v |
| बाह्यव्युत्क्रम कोन | \angle a = \angle r \angle b = \angle s \angle f = \angle v \angle e = \angle u | \angle a = \angle h \angle d = \angle e \angle p = \angle v \angle s = \angle w |
| आंतरव्युत्क्रम कोन | \angle d = \angle q \angle c = \angle p \angle g = \angle w \angle h = \angle t | \angle b = \angle g \angle c = \angle f \angle q = \angle u \angle r = \angle t |
| आंतर कोन | m\angle c + m\angle q = 180^\circ m\angle g +m\angle t = 180^\circ | m\angle c + m\angle g = 180^\circ m\angle q +m\angle t = 180^\circ |
आता वरील तक्ता वापरून आपण हे उदाहरण सोडवू,
m\angle b = 80^\circ हे दिलेलं आहे.
| वरील तक्त्याप्रमाणे, m\angle b = m\angle e (संगत कोन) \therefore m\angle e = 80^\circ \therefore m\angle e + m\angle f = 180^\circ (सरळ कोन) \begin{aligned} \\ & \therefore m\angle f = 180^\circ - m\angle e \\ & \therefore m\angle f = 180^\circ - 80^\circ \\ & \mathbf{\therefore m\angle f = 100^\circ}\end{aligned} | वरील तक्त्याप्रमाणे, m\angle b = m\angle q (संगत कोन) \therefore m\angle q = 80^\circ m\angle s = m\angle q (विरुद्ध कोन) \mathbf{\therefore m\angle s = 80^\circ} | वरील तक्त्याप्रमाणे m\angle u = m\angle s (संगत कोन) \mathbf{\therefore m\angle u = 80^\circ} |
उदाहरण 6:
शेजारील आकृतीत रेषा k ही छेदिका आहे.
m\angle a =105^\circ आहे, त्यावरून \angle d, \angle f आणि \angle h ची मापं काढा.
उत्तर:
इथे लक्षात घ्या की आडवी रेषा k ही छेदिका आहे आणि m\angle a =105^\circ
| m\angle c = m\angle a (विरुद्ध कोन) \therefore m\angle c= 105^\circ \therefore m\angle c + m\angle d = 180^\circ (सरळ कोन) \begin{aligned} \\ & \therefore m\angle d = 180^\circ - m\angle c \\ & \therefore m\angle d=180^\circ - 105^\circ \\ & \mathbf{\mathbf{\therefore m\angle d = 75^\circ}}\end{aligned} | m\angle f = m\angle a (संगत कोन) \mathbf{\therefore m\angle f = 105^\circ} | m\angle h = m\angle f (विरुद्ध कोन) \mathbf{\therefore m\angle u = 105^\circ} |
उदाहरण 7:
शेजारील आकृतीत रेषा m \parallel रेषा k \parallel रेषा n, तर दिलेल्या मापांवरून \angle BCE म्हणजेच \angle x चं माप काढा.
उत्तर:
m\angle ABC = 40^\circ आणि m\angle CEF = 30^\circ
\angle ABC व \angle BCD हे व्युत्क्रमकोन आहेत आणि \angle CEF व \angle DCE हे देखील व्युत्क्रमकोन आहेत.
\therefore m\angle ABC = m\angle BCD = 40^\circ आणि m\angle CEF = m\angle DCE = 30^\circ
\begin{aligned} \\ & \therefore m\angle BCE = m\angle BCD + m\angle DCE \\ & \therefore m\angle BCE = 40^\circ + 30^\circ \\ & \mathbf{\therefore m\angle BCE = 70^\circ}\end{aligned}
म्हणजेच \mathbf{\angle x = 70^\circ}
दिलेल्या रेषेला समांतर रेषा काढणे
दिलेल्या रेषेला जर समांतर रेषा काढायची असेल तर ती कशी काढायची, त्याच्या काही पद्धती आपण बघुयात.
पद्धत: 1
- एक रेषा काढा आणि तिला L नाव द्या.
- L रेषेवर काही अंतरावर A हा एक बिंदू घ्या.
- आता तुमच्या कंपासपेटीत असलेला एक गुण्या (गुण्या 1) घ्या आणि आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे त्याची काटकोन करणारी बाजू AB रेषा L बरोबर अशा प्रकारे जुळवा की त्या गुण्याचा काटकोन करणारा कोपरा बिंदू A वर असेल.
- आता तुमच्या कंपासपेटीत असलेला दुसरा गुण्या (गुण्या 2) घ्या आणि आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे त्याची काटकोन करणारी बाजू PQ गुण्या 1 च्या काटकोन करणाऱ्या बाजू AC ला जुळवून घ्या. आता गुण्या 2 चा काटकोन करणारा कोपरा गुण्या 1 च्या काटकोन करणाऱ्या बाजूला जिथे स्पर्श करत आहे, त्या बिंदुला P नाव द्या.
- आता आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे P बिंदूतून जाणारी आणि गुण्या 2 च्या काटकोन करणाऱ्या बाजू PR ला स्पर्श करणारी रेषा M काढा.
- अशा प्रकारे दिलेल्या L रेषेला M ही समांतर रेषा काढता येते.
पद्धत: 2
- वरील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे m ही एक रेषा काढा.
- m ह्या रेषेवर काही अंतर सोडून A आणि B हे दोन बिंदू काढा.
- A ह्या बिंदूवर AP आणि B ह्या बिंदूवर BQ हे दोन लंब असे काढा की \ell(AP) = \ell(BQ).
- आता P आणि Q बिंदूंमधून जाणारी n ही रेषा काढा.
- अशा प्रकारे m आणि n ह्या समांतर रेषा आहेत.
पद्धत: 3
- वरील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे m ही एक रेषा काढा.
- m ह्या रेषेवर काही अंतर सोडून A आणि B हे दोन बिंदू काढा.
- A आणि B दोन्ही बिंदूंवर दोन लंब काढा.
- A वर काढलेल्या लंबावर 3 सेमी अंतरावर P हा बिंदू घ्या आणि B वर काढलेल्या लंबावर 3 सेमी अंतरावर Q हा बिंदू घ्या.
- आता P आणि Q बिंदूंमधून जाणारी n रेषा काढा
- अशा प्रकारे m आणि n ह्या समांतर रेषा आहेत.
इयत्ता 8 वीचे पाठयपुस्तक: इथे क्लिक करा