इयत्ता 8 वी घन आणि घनमूळ म्हणजे काय? घन व घनमूळ ही गणितातील महत्त्वाची संकल्पना आहे. घातांक म्हणजे एखाद्या संख्येचा किती वेळा गुणाकार केला आहे हे दर्शवणारा निर्देशांक, तर घनमूळ म्हणजे एखाद्या संख्येचा असा मूळांक ज्याचा घन त्या संख्येस समकक्ष असतो.
घातांक म्हणजे काय?
खालील उदाहरणांवरून समजावून घेऊयात …
2\times2 = 4 म्हणजेच 2^2 (दोनचा वर्ग)
2\times2\times2 = 8 म्हणजेच 2^3 (दोनचा घन)
2\times2\times2\times2 = 16 म्हणजेच 2^4 (दोनचा चौथा घात)
वरील संख्यांमध्ये 2 ला ‘पाया’ म्हणतात आणि 2 च्या डोक्यावरील संख्येला ‘घातांक’ म्हणतात.
घातांकाचे नियम
| 1 | \mathbf{a^m \times a^n=a^{m+n}} |
| 2 | \mathbf{a^m \div a^n=a^{m-n}} |
| 3 | \mathbf{(a \times b)^m=a^m \times b^m} |
| 4 | \mathbf{a^0=1} |
| 5 | \mathbf{a^{-m}=\frac{1}{a^m}} |
| 6 | \mathbf{(a^m)^n=a^{mn}} |
| 7 | \mathbf{\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^m}{b^m}} |
| 8 | \mathbf{\left(\frac{a}{b}\right)^{-m}=\left(\frac{b}{a}\right)^{m}} |
आता वरील नियम वापरून आपण काही उदाहरणं सोडवून बघुयात,
| उदाहरण 1: 3^{3} \times 3^{2}=? उत्तर: वरील नियम 1 प्रमाणे … \begin{aligned} \\ \therefore 3^{3} \times 3^{2}&=3^{(3+2)} \\ &=3^{5} \\ &=243\end{aligned} | उदाहरण 6: 6^{1}=? उत्तर: \therefore 6^{1}=6 |
| उदाहरण 2: 3^{7} \div 3^{4}=? उत्तर: वरील नियम 2 प्रमाणे … \begin{aligned} \\ \therefore 3^{7} \div 3^{4}&=3^{(7-4)} \\ &=3^{3} \\ &=27\end{aligned} | उदाहरण 7: (3 \times 2)^{3}=? उत्तर: वरील नियम 3 प्रमाणे … \begin{aligned} \\ \therefore (3 \times 2)^{3}&=3^{3} \times 2^{3} \\ &=27 \times 8 \\ &=216\end{aligned} |
| उदाहरण 3: (3^{3})^{2}=? उत्तर: वरील नियम 6 प्रमाणे … \begin{aligned} \\ \therefore (3^{3})^{2}&=3^{(3 \times 2)} \\ &=3^{6} \\ &=729\end{aligned} | उदाहरण 8: \left(\frac{3}{5}\right)^{2}=? उत्तर: वरील नियम 7 प्रमाणे … \begin{aligned} \\ \therefore \left(\frac{3}{5}\right)^{2}&=\frac{3^{2}}{5^{2}} \\ &=\frac{9}{25} \\ &=0.36\end{aligned} |
| उदाहरण 4: 2^{-4}=? उत्तर: वरील नियम 5 प्रमाणे … \begin{aligned} \\ \therefore 2^{-4}&=\frac{1}{2^{4}} \\ &=\frac{1}{16} \\ &=0.0625\end{aligned} | उदाहरण 9: \left(\frac{3}{5}\right)^{-2}=? उत्तर: वरील नियम 8 प्रमाणे … \begin{aligned} \\ \therefore \left(\frac{3}{5}\right)^{-2}&=\frac{5^{2}}{3^{2}} \\ &=\frac{25}{9} \\ &=2.78\end{aligned} |
| उदाहरण 5: 7^{0}=? उत्तर: वरील नियम 4 प्रमाणे … \therefore 7^{0}=1 |
घातांक परिमेय संख्या असेल तर …
§ एखाद्या संख्येचा घातांक जर परिमेय संख्या असेल, म्हणजेच \frac{1}{7} ह्या स्वरूपात असेल तर त्याचा अर्थ काय होतो , ते आता पाहू.
एखाद्या संख्येचा वर्ग आपण 7^{2} असा दर्शवतो आणि त्याचे वर्गमूळ आपण घातांकाच्या स्वरूपात 7^\frac{1}{2} असे दर्शवतो. तसेच एखाद्या संख्येचा घन आपण 7^{3} असा दर्शवतो आणि त्याचे घातांकाच्या स्वरूपात घनमूळ आपण 7^\frac{1}{3} असे दर्शवतो.
आपण आता खाली दिलेली काही उदाहरणं बघू, म्हणजे तुम्हाला ही संकल्पना पूर्णपणे समजेल,
| अनुक्रमांक | घातांक | मूळ – घातांक स्वरूपात | मूळ – करणी चिन्ह वापरून |
| 1 | 7^{2} | 7^\frac{1}{2} | \sqrt{7} |
| 2 | 5^{3} | 5^\frac{1}{3} | \sqrt[3]{5} |
| 3 | 9^{8} | 9^\frac{1}{8} | \sqrt[8]{9} |
| 4 | 12^{90} | 12^\frac{1}{90} | \sqrt[90]{12} |
| महत्वाचं: वरील उदाहरणांमध्ये x^\frac{1}{n} आणि \sqrt[n]{x} या दोन्हींचा अर्थ x चे n वे मूळ असाच होतो; फक्त x चे n वे मूळ दर्शवण्याच्या ह्या दोन पद्धती आहेत. |
खालील संख्यांची मूळ x^\frac{1}{n} आणि \sqrt[n]{x} ह्या स्वरूपात लिहा.
| अनुक्रमांक | प्रश्न | मूळ – घातांक स्वरूपात | मूळ – करणी चिन्ह वापरून |
| 1 | 15 चे पाचवे मूळ | 15^\frac{1}{5} | \sqrt[5]{15} |
| 2 | 10 चे सहावे मूळ | 10^\frac{1}{6} | \sqrt[6]{10} |
| 3 | 625 चे वर्गमूळ | 25^\frac{1}{2} | \sqrt{625} |
| 4 | 9 चे घनमूळ | 9^\frac{1}{3} | \sqrt[3]{9} |
| 5 | 100 चे सातवे मूळ | 100^\frac{1}{7} | \sqrt[7]{100} |
| 6 | 40 चे आठवे मूळ | 40^\frac{1}{8} | \sqrt[8]{40} |
उदाहरण:
| अनुक्रमांक | घातांकित संख्या | मूळ |
| 1 | (64)^{\frac{1}{5}} | 64 चे 5 वे मूळ |
| 2 | (30)^{\frac{1}{7}} | 30 चे 7 वे मूळ |
| 3 | (50)^{\frac{1}{4}} | 50 चे 4 थे मूळ |
| 4 | (100)^{\frac{1}{9}} | 100 चे 9 वे मूळ |
| 5 | (15)^{\frac{1}{12}} | 15 चे 12 वे मूळ |
एखाद्या संख्येचा घातांक जर परिमेय संख्या असेल, म्हणजेच \mathbf{\frac{m}{n}} ह्या स्वरूपात असेल तर त्याचा अर्थ काय होतो , ते आता पाहू.
आपण एका उदाहरणाने हे समजावून घेऊयात,
उदाहरण:
आता आपण 64 चं घनमूळ काढू,
\sqrt[3]{64}=(64)^{\frac{1}{3}}
पण 64 हा 8 चा वर्ग आहे (8^{2}=64).
\therefore (8^{2})^{\frac{1}{3}} म्हणजेच 8 च्या वर्गाचे घनमूळ.
\therefore (64)^{\frac{1}{3}}=4 ——- (i)
तसेच आता 8 च्या घनमूळाचा वर्ग काढू,
\therefore (8^{\frac{1}{3}})^{2}=(2)^{2}
\therefore (8^{\frac{1}{3}})^{2} = 4 ——- (ii)
म्हणजेच (8 च्या वर्गाचे घनमूळ) = (8 च्या घनमुळाचा वर्ग)
| महत्वाचे: घातांक पूर्णांक संख्या असतानाचे सर्व नियम घातांक परिमेय संख्या असेल तरी लागू होतात. |
उदाहरण:
(x^{m})^{n} = x^{mn} वापरून,
(8^{2})^{\frac{1}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^{2}
\therefore (8^{2})^{\frac{1}{3}}=(8)^{\frac{2}{3}}
(8)^{\frac{2}{3}}=(8^{2})^{\frac{1}{3}} म्हणजे 8 च्या वर्गाचे घनमूळ.
(8^{\frac{2}{3}})=(8^{\frac{1}{3}})^{2} म्हणजे 8 च्या घनमुळाचा वर्ग.
| महत्वाचे: (x)^{\frac{m}{n}}=(x^{m})^{\frac{1}{n}} म्हणजे x च्या m व्या घाताचे n वे मूळ. (x)^{\frac{m}{n}}=(x^{\frac{1}{n}})^{m} म्हणजे x च्या n व्या मुळाचा m वा घात. |
आता आपण ह्याची काही उदाहरणं बघुयात,
| अनुक्रमांक | संख्या | कितव्या मुळाचा कितवा घात | कितव्या घाताचे कितवे मूळ |
| 1 | (225)^{\frac{2}{3}} | 225 च्या घनमूळाचा वर्ग | 225 च्या वर्गाचे घनमूळ |
| 2 | (45)^{\frac{4}{5}} | 45 च्या 5 व्या मूळचा 4 था घात | 45 च्या 4 थ्या घाताचे 5 वे मूळ |
| 3 | (81)^{\frac{6}{7}} | 81 च्या 7 व्या मूळचा 6 वा घात | 81 च्या 6 व्या घाताचे 7 वे मूळ |
| 4 | (100)^{\frac{4}{10}} | 100 च्या 10 व्या मूळचा 4 था घात | 100 च्या 4 थ्या घाताचे 10 वे मूळ |
| 5 | (21)^{\frac{3}{7}} | 21 च्या 7 व्या मूळचा घन | 21 च्या घनाचे 7 वे मूळ |
आता आपण वर केलेल्या उदाहरणांच्या बरोबर उलटी क्रिया करून केलेली उदाहरणं बघुयात,
| अनुक्रमांक | कितव्या घाताचे कितवे मूळ | संख्या |
| 1 | 121 च्या पाचव्या घाताचे वर्गमूळ | (121)^{\frac{5}{2}} |
| 2 | 324 च्या चौथ्या मुळाचा घन | (324)^{\frac{3}{4}} |
| 3 | 264 च्या वर्गाचे पाचवे मूळ | (264)^{\frac{2}{5}} |
| 4 | 3 च्या घनमुळाचा घन | (3)^{\frac{3}{3}} |
| आपल्याला माहित आहे की दोन धन संख्यांचा गुणाकार हा धन संख्याच असतो. उदाहरण: 2 x 2 = 4 आणि आपल्याला हे ही माहित आहे की दोन ऋण संख्यांचा गुणाकारही धन संख्याच असतो. उदाहरण: (-2) x (-2) = 4 |
| आता हे पक्क लक्षात ठेवायचं: 2 x 2 = 4 म्हणजे 2 चा वर्ग आणि (-2) x (-2) = 4 हा सुद्धा 2 चा वर्गच आहे. म्हणजेच 4 ह्या धन संख्येला दोन वर्गमुळे असतात; एक +2 आणि दुसरे -2. प्रत्येक धन संख्येला दोन वर्गमुळे असतात; त्यातले एक वर्गमूळ धन असते आणि दुसरे ऋण असते. x धन संख्येचे धन वर्गमूळ \sqrt{x} असे दर्शवतात आणि त्याच धन संख्येचे ऋण वर्गमूळ -\sqrt{x} असे दर्शवतात. उदाहरण: \sqrt{4}=2 आणि -\sqrt{4}=-2. शून्य या संख्येचे वर्गमूळ शून्यच असते. |
घन आणि घनमूळ म्हणजे काय?
आपल्याला एखाद्या संख्येचा वर्ग आणि वर्गमूळ म्हणजे काय ते माहित आहे.
आपण निवडलेल्या संख्येला त्याच संख्येने एकदा गुणले की आपल्याला त्या संख्येचा वर्ग मिळतो.
उदाहरण:
2 चा वर्ग = 2\times 2 = 4 आहे
4 चा वर्ग = 4\times 4 = 16 आहे
5 चा वर्ग = 5\times 5 = 25 आहे.
-2 चा वर्ग = -2\times -2 = 4 आहे.
| महत्वाचे: धन आणि ऋण दोन्ही संख्यांचा वर्ग हा नेहमी धन असतो. |
घन कसा काढायचा?
त्याच प्रमाणे आपण निवडलेल्या संख्येला त्याच संख्येने दोन वेळा गुणले की आपल्याला त्या संख्येचा घन मिळतो.
उदाहरण:
2 चा घन = 2\times 2\times 2 = 8
3 चा घन = 3\times 3\times 3 = 27
5 चा घन = 5\times 5\times 5 = 125
| महत्वाचे: जर संख्या ऋण असेल तर? आपल्याला माहित आहे की तीन ऋण संख्यांचा गुणाकार हा ऋण असतो; म्हणून ऋण संख्येचा घनही ऋण असतो. |
उदाहरण:
-2 चा घन = -2 x -2 x -2 = -8
-3 चा घन = -3 x -3 x -3 = -27
आता आपण अजून काही उदाहरणं सोडवुया,
उदाहरण 1:
19 चा घन काढा.
उत्तर:
\begin{aligned} \\ \therefore 19^{3}&={19\times 19\times 19} \\ &=6859\end{aligned}
उदाहरण 2:
-15 चा घन काढा.
उत्तर:
\begin{aligned} \\ -15^{3}&={-15\times-15\times-15} \\ &=(225)\times-15 \\ &=-3375\end{aligned}
उदाहरण 3:
\frac{2}{3} चा घन काढा.
उत्तर:
\begin{aligned} \\ \left(\frac{2}{3}\right)^3&=\frac{2^3}{3^3} \\ &= \frac{2\times2\times2}{3\times3\times3} \\ &= \frac{8}{27} \\ &= 0.296\end{aligned}
उदाहरण 4:
1.4 चा घन काढा.
उत्तर:
\begin{aligned} \\ 1.4^{3}&={1.4\times1.4\times1.4} \\ &= 2.744 \end{aligned}
उदाहरण 5:
0.03 चा घन काढा.
उत्तर:
\begin{aligned} \\ (0.03)^{3}&={(0.03)\times(0.03)\times(0.03)} \\ &= 0.000027\end{aligned}
ह्यात एक लक्षात घ्या की (0.03) ह्या संख्येत दशांश चिन्हानंतर असलेल्या अंकांची संख्या दोन आहे. म्हणजेच एक संख्या आहे 0 आणि दुसरी आहे 3.
आपण घन काढताना (0.03) ही संख्या त्याच संख्येला दोन वेळा गुणत आहोत. म्हणजेच (0.03)\times(0.03)\times(0.03) आणि त्यामुळे उत्तरात ह्या प्रत्येक पदातील दशांश चिन्हानंतरच्या अंकांच्या संख्यांची बेरीज होते. ह्या उत्तरात दशांश चिन्हानंतर एकूण 6 अंक आहेत. हे 6 अंक म्हणजे प्रत्येक पदातील दशांश चिन्हानंतरच्या 03 = 2 अंक ह्या प्रमाणे 2 + 2 + 2 = 6 अंक आहेत.
घनमूळ कसे काढायचे?
घनमूळ कसं काढायचं, ते आता आपण काही उदाहरणांच्या साह्याने समजावून घेऊयात.
उदाहरण 1:
64 चं घनमूळ काढा.
उत्तर:
आधी आपण 64 चे मूळ अवयव पाडू; म्हणजेच 64 ला पूर्ण भाग जाईपर्यंत भागू,
| भाजक | भागाकार |
| 2 | 64 |
| 2 | 32 |
| 2 | 16 |
| 2 | 8 |
| 2 | 4 |
| 2 | 2 |
| 1 |
\therefore \sqrt[3]{64}=2\times2\times2\times2\times2\times2
म्हणजेच 2 ने 64 ला 8 वेळा भागलं की पूर्ण भाग जातो आणि म्हणून,
\left(2\times2\times2\times2\times2\times2\right) हे 64 चे मूळ अवयव आहेत.
अशा प्रकारे (2\times2) चे 3 संच तयार होतात.
\begin{aligned} \\ \sqrt[3]{64}&=4\times4\times4 \\ &= (4^3)^\frac{1}{3} \\ &=4\end{aligned}
म्हणून 64 चं घनमूळ 4 आहे.
उदाहरण 2:
-1331 चे घनमूळ काढा.
उत्तर:
आधी आपण -1331 चे मूळ अवयव पाडू; म्हणजेच -1331 ला पूर्ण भाग जाईपर्यंत भागू,
| भाजक | भागाकार |
| 11 | -1331 |
| 11 | -121 |
| 11 | -11 |
| -1 |
म्हणजेच -11 ने -1331 ला 3 वेळा भागलं की पूर्ण भाग जातो आणि म्हणून (-11\times-11\times-11) हे -1331 चे मूळ अवयव आहेत.
\begin{aligned} \\ \therefore \sqrt[3]{-1331}&=-11\times-11\times-11 \\ &= (-11^3)^\frac{1}{3} \\ &= -11\end{aligned}
म्हणून -1331 चं घनमूळ -11 आहे.
उदाहरण 3:
0.125 चे घनमूळ काढा.
उत्तर:
आपण हे गणित आधी सोपं करून घेऊ,
\begin{aligned} \\ \sqrt[3]{0.125}&=\sqrt[3]{\frac{125}{1000}} \\ \therefore \sqrt[3]{0.125}&=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{1000}}\end{aligned}
आधी आपण 125 आणि 1000 चे मूळ अवयव पाडू,
| भाजक | भागाकार |
| 5 | 125 |
| 5 | 25 |
| 5 | 5 |
| 1 |
म्हणजेच 5 ने 125 ला 3 वेळा भागलं की पूर्ण भाग जातो आणि म्हणून (5\times5\times5) हे 125 चे मूळ अवयव आहेत.\begin{aligned} \\ \therefore \sqrt[3]{125}&=5\times5\times5 \\ &= (5^3)^\frac{1}{3} \\ &= 5\end{aligned}
म्हणून 125 चं घनमूळ 5 आहे.
| भाजक | भागाकार |
| 10 | 1000 |
| 10 | 100 |
| 10 | 10 |
| 1 |
म्हणजेच 10 ने 1000 ला 3 वेळा भागलं की पूर्ण भाग जातो आणि म्हणून (10\times10\times10) हे 1000 चे मूळ अवयव आहेत.
\begin{aligned} \\ \therefore \sqrt[3]{1000}&=10\times10\times10 \\ &=(10^3)^\frac{1}{3} \\ &= 10\end{aligned}
म्हणून 1000 चं घनमूळ 10 आहे.
\sqrt[3]{0125}=\frac{5}{10}=0.5
म्हणून 0.125 चं घनमूळ 0.5 आहे.
घनमुळाची उदहारणे
खालील संख्यांचे घनमूळ काढा.
उदाहरण 1:
\sqrt[3]{8000}
| 5 | 8000 |
| 5 | 1600 |
| 5 | 320 |
| 4 | 64 |
| 4 | 16 |
| 4 | 4 |
| 1 |
उदाहरण 2:
\sqrt[3]{729}| 3 | 729 |
| 3 | 243 |
| 3 | 81 |
| 3 | 27 |
| 3 | 9 |
| 3 | 3 |
| 1 |
उदाहरण 3:
\sqrt[3]{343}| 7 | 343 |
| 7 | 49 |
| 7 | 7 |
| 1 |
उदाहरण 4:
\sqrt[3]{-512}| 2 | -512 |
| 2 | -256 |
| 2 | -128 |
| 2 | -64 |
| 2 | -32 |
| 2 | -16 |
| 2 | -8 |
| 2 | -4 |
| 2 | -2 |
| -1 |
उदाहरण 5
\sqrt[3]{-2744}| 2 | -2744 |
| 2 | -1372 |
| 2 | -686 |
| 7 | -343 |
| 7 | -49 |
| 7 | -7 |
| -1 |
उदाहरण 6:
\sqrt[3]{32768}| 2 | 32768 |
| 2 | 16384 |
| 2 | 8192 |
| 2 | 4096 |
| 2 | 2048 |
| 2 | 1024 |
| 2 | 512 |
| 2 | 256 |
| 2 | 128 |
| 2 | 64 |
| 2 | 32 |
| 2 | 16 |
| 2 | 8 |
| 2 | 4 |
| 2 | 2 |
| 1 |
उदाहरण 7:
\sqrt[3]{\frac{16}{54}}आता आपण 16 आणि 54 यांचे मूळ अवयव आधी पाडून घेऊ,
| 2 | 16 |
| 2 | 8 |
| 2 | 4 |
| 2 | 2 |
| 1 |
| 2 | 54 |
| 3 | 27 |
| 3 | 9 |
| 3 | 3 |
| 1 |
\begin{aligned} \\ \sqrt[3]{\frac{16}{54}}&=\left(\frac{\cancel{2}\times 2\times 2\times 2}{\cancel{2}\times 3\times 3\times 3}\right)^{\frac{1}{3}} \\ &=\left(\frac{2^{3}}{3^{3}} \right)^{\frac{1}{3}} \\ &=\frac{2}{3} \\ &=0.\dot{6}\end{aligned}
उदाहरण 8:
\sqrt[3]{\frac{27}{125}}आता आपण 27 आणि 125 यांचे मूळ अवयव आधी पाडून घेऊ,
| 3 | 27 |
| 3 | 9 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 5 | 125 |
| 5 | 25 |
| 5 | 5 |
| 1 |
\begin{aligned} \\ \sqrt[3]{\frac{27}{125}}&=\left(\frac{3\times 3\times 3}{5\times 5\times 5}\right)^\frac{1}{3} \\ &= \left(\frac{3^{3}}{5^{3}} \right)^{\frac{1}{3}} \\ &= \frac{3}{5} \\ &= 0.6 \end{aligned}
इयत्ता 8 वीचे पाठयपुस्तक: इथे क्लिक करा