इयत्ता 8 वी चक्रवाढ व्याज म्हणजे काय?

इयत्ता 8 वी चक्रवाढ व्याज म्हणजे काय? : मुद्दलीवरील चक्रवाढ व्याज काढताना मुद्दलीवर आधीच्या कालावधीसाठी जमा झालेले व्याज मिळवले जाते. त्यामुळे वेळेनुसार व्याजाची रक्कम वाढत जाते आणि अंतिम रक्कम अधिक मोठी होते. हा प्रकार गुंतवणुकीसाठी लाभदायक असला तरी कर्जाच्या बाबतीत अधिक खर्चिक ठरू शकतो.

इयत्ता 8 वी साठी चक्रवाढ व्याज म्हणजे काय? हे समजावून घेण्यासाठी आपण एक उदाहरण विचारात घेऊ,

उदाहरण:
संजय एका बँकेशी रुपये 50,000/- रक्कम पाच वर्षांसाठी गुंतवण्यासाठी करार करतो आणि त्या बदल्यात बँक संजयला गुंतवलेल्या रकमेवर प्रत्येक वर्षाला 5% प्रमाणे व्याज द्यायची हमी देते.

इयत्ता 8 वी साठी चक्रवाढ व्याज म्हणजे काय? हे शिकण्याआधी आपल्याला बँकिंग क्षेत्रात नियमित वापरल्या जाणाऱ्या काही संज्ञा माहित असणे आवश्यक आहे; तर आपण प्रथम त्या संज्ञा माहित करून घेऊया,

मुद्दल

मुद्दल किंवा ठेव म्हणजे काय?
गुंतवलेल्या रकमेला मुद्दल किंवा ठेव म्हणतात. वरील उदाहरणात रुपये 50,000/- ही मुद्दल किंवा ठेव आहे.

मुदत

मुदत म्हणजे काय?
जितक्या कालावधीसाठी मुद्दल गुंतवली जाते, त्या कालावधीला मुदत म्हणतात. वरील उदाहरणात मुदत पाच वर्षे आहे. याचा अर्थ, बँक पुढील पाच वर्ष संजयला (ठेवीदाराला) गुंतवलेल्या 50 हजार रुपयांवर प्रत्येक वर्षाला व्याज देईल आणि पाच वर्षांची मुदत पूर्ण झाल्यावर त्याने गुंतवलेली मुद्दल (रुपये 50,000/-) परत करेल.

व्याज

व्याज म्हणजे काय?
बँकेत किंवा एखाद्या वित्तीय संस्थेत जेंव्हा आपण पैसे गुंतवतो, तेंव्हा ती बँक किंवा संस्था आपले पैसे (मुद्दल) काही विधायक कामांसाठी वापरते आणि त्याचा मोबदला म्हणून आपल्याला काही ठराविक रकमेचा परतावा देते. ह्या परताव्याला व्याज म्हणतात.

व्याजाचा दर

व्याजाचा दर म्हणजे काय?
गुंतवलेल्या मुद्दलीच्या मोबदल्यात बँक ठेवीदाराला मुद्दलीच्या टक्केवारीत जे व्याज (किंवा परतावा) देते, त्याला व्याजाचा दर म्हणतात. सामान्यतः व्याजाचा दर हा वार्षिक असतो. वरील उदाहरणात व्याजाचा दर वार्षिक 5% ( पाच टक्के) आहे.

व्याजाची वारंवारता

व्याजाची वारंवारता म्हणजे काय?
गुंतवलेल्या मुद्दलीवर ज्या वार्षिक दराने बँक ठेवीदाराला व्याज देणार आहे, त्या व्याजाच्या दरापैकी प्रत्येक ठरलेल्या कालावधीसाठी जितका व्याजाचा दर होतो, त्या व्याजाच्या दराने व्याज काढले जाते आणि ठेवीदाराला त्या कालावधीचे व्याज दिले जाते. ज्या ठराविक अवधीने बँक ठेवीदाराला व्याज देते, त्या अवधीला व्याजाची वारंवारता म्हणतात. ही वारंवारता “मासिक”, “त्रैमासिक”, “सहामाही” किंवा “वार्षिक” देखील असू शकते.
उदाहरणार्थ, दरमहा व्याज द्यायचे असेल, तर …

मासिक व्याजाचा दर = (व्याजाचा वार्षिक दर / 12) \;=\mathbf{\frac{R}{12}} … 1 महिना म्हणजे एका वर्षाचे 12 भाग, म्हणून 12 ने भागायचे.
त्रैमासिक व्याजाचा दर = (व्याजाचा वार्षिक दर / 4) \;=\mathbf{\frac{R}{4}} … 3 महिने म्हणजे एका वर्षाचे 4 भाग, म्हणून ४ ने भागायचे.
सहामाही व्याजाचा दर = (व्याजाचा वार्षिक दर / 2) \;=\mathbf{\frac{R}{2}} … 6 महिने म्हणजे एका वर्षाचे 2 भाग, म्हणून 2 ने भागायचे.

मुदत संपल्यावर ठेवीदाराला किती रक्कम मिळते?
मुदत संपल्यानंतर बँक ठेवीदाराला त्याने गुंतवलेली पूर्ण रक्कम परत करते आणि त्याचबरोबर ठेवीदाराला त्या मुदतीसाठी ठरलेले व्याज ठरलेल्या वारंवारतेनुसार बँकेकडून मिळालेले असते.
म्हणून मुदत संपल्यानंतर ठेवीदाराला मिळणारी रक्कम = गुंतवलेली रक्कम + व्याज

वरील उदाहरणात, प्रत्येक वर्षी मिळणाऱ्या व्याजाची रक्कम काढू,
\begin{aligned} \\ & = 50,000\times 5\% \\ & =50,000\times \frac{5}{100} \\ & =2500\end{aligned}
प्रत्येक वर्षी संजयला 2500/- रुपये व्याज मिळेल.

5 वर्षांची मुदत संपल्यानंतर संजयला मिळणारी व्याजाची एकूण रक्कम = (प्रत्येक वर्षी मिळणारी व्याजाची रक्कम x मुदत)
\begin{aligned} \\ & = 2500\times 5 \\ & =12,500\end{aligned}
म्हणून मुदत संपल्यावर संजयला व्याजाचे 12,500/- रुपये मिळतील.

मुदत संपल्यावर संजयला मिळणारी एकूण रक्कम = (मुद्दल + ५ वर्षांसाठीचं एकूण व्याज)
\begin{aligned} \\ & = 50,000+12,500 \\ & =62,500\end{aligned}
मुदत संपल्यावर संजयला 62,500/- रुपये मिळतील.

वरील उदाहरणावरून तुम्हाला इयत्ता 8 वी साठी चक्रवाढ व्याज म्हणजे काय? आणि त्याचा अभ्यास किती महत्वाचा आहे, हे लक्षात आलं असेल.

Go to top

सरळ व्याज

इयत्ता 8 वी साठी चक्रवाढ व्याज म्हणजे काय? हे शिकण्याआधी आपण सरळ व्याज म्हणजे काय; ते समजावून घेऊ,

वरील उदाहरणात आपण दिलेल्या मुद्दलीवर जे व्याज काढलं, त्याला सरळ व्याज म्हणतात. यामध्ये मुद्दलाची रक्कम पूर्ण मुदतीसाठी तीच राहते आणि त्यामुळे ठेवीदाराला दर वर्षी स्थिर व्याज मिळतं. म्हणजे वरील उदाहरणात 5 वर्षांसाठी मुद्दलाची रक्कम 50,000 रुपयेच राहते आणि त्यामुळे ठेवीदाराला दर वर्षी 5 टक्क्याप्रमाणे 2500 रुपये व्याज मिळतं.

मुदत समाप्तीच्या वेळी मुद्दल रुपये 50,000/- च असेल आणि 5 वर्षांचे व्याज रुपये 12,500/- असेल.
मुदत समाप्तीनंतर संजयला (म्हणजे ठेवीदाराला) सरळ व्याज पद्धतीने बँकेकडून परत केली जाणारी एकूण रक्कम = (मुद्दल) + (5 वर्ष पूर्ण झाल्यावर मिळालेलं व्याज).
\begin{aligned} \\ &=50,000+12,500 \\ &=\mathbf{62,500}\end{aligned}
मुदत समाप्तीनंतर संजयला बँकेकडून रुपये 62,500/- परत केले जातील.

Go to top

चक्रवाढ व्याज

इयत्ता 8 वी साठी चक्रवाढ व्याज म्हणजे काय? ते समजावून घ्यायला आपण वर दिलेलंच उदाहरण विचारात घेऊ. ह्या उदाहरणात संजयने 50,000 रुपयांची ठेव किंवा मुद्दल पाच वर्षांसाठीं वार्षिक 5% व्याजाने बँकेत ठेवली आहे. आणि त्याचा मोबदला म्हणून बँक संजयला पाच वर्षांसाठी प्रत्येक वर्षी 2500 रुपये सरळ व्याज पद्धतीने व्याज देते, हे आपण आधी बघितलं आहे.

आता चक्रवाढ व्याज पद्धतीमध्ये काय होतं ते आपण पाहू,
1) चक्रवाढ व्याज पद्धतीमध्ये प्रत्येक वर्षीचं व्याज हे ठेवीदाराला न देता मुद्दलीमध्ये मिळवलं जातं आणि अशा प्रकारे मुद्दल वाढत जाते. ह्या मुद्दल आणि व्याजाच्या बेरजेलाच “रास” असं म्हणतात.

2) वार्षिक व्याज हे ह्या राशीवर काढलं जातं.
3) ठेवीची मुदत संपल्यानंतर (म्हणजे वरच्या उदाहरणात 5 वर्ष) ठेवीदाराला एकूण रास (मुद्दल + व्याज) परत केली जाते.

आता आपण वर दिलेल्या उदाहरणासाठी चक्रवाढ व्याज पद्धत वापरून बघू,

ठेवीची किंवा मुद्दलीची मुदत पूर्ण झाल्यानंतर संजयला सरळ व्याज पद्धतीने रुपये 62,500/- रक्कम परत मिळणार आहे आणि चक्रवाढ व्याज पद्धतीने रुपये 63,814.08/- रक्कम परत मिळणार आहे. ह्या वरून स्पष्ट होत आहे की चक्रवाढ पद्धतीने व्याजाची रक्कम जास्त होते आणि मुदतीअंती अधिक रक्कम ठेवीदारांच्या हातात येते.

ह्या उदाहरणावरून सरळ व्याज आणि चक्रवाढ व्याज ह्या संकल्पना तुम्हाला व्यवस्थित कळल्या असतील.

खाली दिलेल्या आकृतीवरून तुम्हाला इयत्ता 8 वी साठी चक्रवाढ व्याज म्हणजे काय? हे स्पष्ट होईल,

Go to top

चक्रवाढ व्याज काढायचे सूत्र

इयत्ता 8 वी साठी चक्रवाढ व्याज म्हणजे काय? आणि चक्रवाढ व्याज कसे काढतात? ह्यासाठी आपण एक उदाहरण विचारात घेऊ आणि त्यावरून चक्रवाढ व्याज काढायचे सूत्र तयार करू,

परत एकदा आपण वर पाहिलेले उदाहरण विचारात घेऊ. संजयने रुपये 50,000/- ठेव 5% वार्षिक दराने 5 वर्षांकरिता बँकेत गुंतवली आहे.
मुद्दल किंवा ठेव रुपये = 50,000
व्याजाचा दर = 5%
एक वर्षानंतर संजयला मिळणारे व्याज = 50,000\times \frac{5}{100}=2500
एक वर्षानंतरची रास (मुद्दल + व्याज) = 50,000+2500=52,500
\therefore रास / मुद्दल = \frac{52,500}{50,000}

\therefore रास / मुद्दल = \frac{52,5\cancel{00}}{50,0\cancel{00}}

\therefore रास = मुद्दल \times \frac{525}{500}

रास ही इंग्रजी A ह्या अक्षराने दर्शवली जाते आणि मुद्दल ही इंग्रजी P ह्या अक्षराने दर्शवली जाते.
\therefore A=P\times \frac{525}{500} ह्या सूत्राने आपण एका वर्षाची रास काढू शकतो.

दुसऱ्या वर्षीची रास काढण्यासाठी वरील सूत्र पुढील प्रमाणे वापरता येईल,
\therefore A=P\times \frac{525}{500}\times \frac{525}{500}

तिसऱ्या वर्षीची रास काढण्यासाठी वरील सूत्र पुढील प्रमाणे वापरता येईल,
\therefore A=P\times \frac{525}{500}\times \frac{525}{500}\times \frac{525}{500}

चौथ्या वर्षीची रास काढण्यासाठी वरील सूत्र पुढील प्रमाणे वापरता येईल,
\therefore A=P\times \frac{525}{500}\times \frac{525}{500}\times \frac{525}{500}\times \frac{525}{500}

पाचव्या वर्षीची रास काढण्यासाठी वरील सूत्र पुढील प्रमाणे वापरता येईल,
\therefore A=P\times \frac{525}{500}\times \frac{525}{500}\times \frac{525}{500}\times \frac{525}{500}\times \frac{525}{500}

ह्या वरून तुमच्या लक्षात आलं असेल की रास काढण्यासाठी जितकी ठेवीची मुदत, तितके वेळा आपल्याला मुद्दलीला (रास/मुद्दल) ह्या स्थिर गुणोत्तराने गुणावे लागते. म्हणजे मुदत N असेल तर वरील रास काढायचे सूत्र पुढील प्रमाणे लिहिता येते,
\therefore A=P\times \left(\frac{525}{500}\right)^N

द.सा.द.शे.

Go to top

उदाहरणं

आता आपण चक्रवाढ व्याजाचं सूत्र वापरून चक्रवाढ व्याजाची काही उदाहरणं सोडवूया, म्हणजे इयत्ता 8 वी साठी चक्रवाढ व्याज म्हणजे काय? हे तुम्हाला पक्क लक्षात येईल.

उदा 1:
4000 रुपयांचे 3 वर्षांचे द.सा.द.शे. 12\frac{1}{2} दराने चक्रवाढ व्याज काढा.
उत्तर:
आधी उदाहरण नीट वाचा.
आता आपल्याला काय दिलं आहे, ते लिहून घेऊया,
मुद्दल P = 4000 रुपये
मुदत N = 3 वर्षे
व्याजाचा वार्षिक दर R = 12\frac{1}{2}

\begin{aligned} \\ &R=12\frac{1}{2} \\ &R=\frac{(2\times 12)+1}{2} \\ &R=\frac{25}{2} \\ &R=12.5\end{aligned}

चक्रवाढ व्याज काढण्याआधी आपल्याला रास काढावी लागणार आहे आणि त्याचं सूत्र आहे,
\begin{aligned} \\ &A=P\left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore A=4000\times \left(1+\frac{12.5}{100}\right)^3 \\ &\therefore A=4000\times \left(\frac{100+12.5}{100}\right)^3 \\ &\therefore A=4000\times \left(\frac{112.5}{100}\right)^3 \\ &\therefore A=4000\times \left(1.423828\right) \\ &\therefore A=5695.31\end{aligned}

\therefore रास= 5695.31 रुपये

म्हणून चक्रवाढ व्याज I=\left(A-P\right)
\begin{aligned} \\ &\therefore I=5695.31-4000 \\ &\therefore \mathbf{I=1695.31}\end{aligned}

उदा 2:
2000 रुपयांचे 2 वर्षांचे द.सा.द.शे. 5% दराने चक्रवाढ व्याज काढा.
उत्तर:
आता आपल्याला काय दिलं आहे, ते लिहून घेऊया,
मुद्दल P = 2000 रुपये
मुदत N = 2 वर्षे
व्याजाचा वार्षिक दर R = 5%

चक्रवाढ व्याज काढण्याआधी आपल्याला रास काढावी लागणार आहे आणि त्याचं सूत्र आहे,
\begin{aligned} \\ &A=P\left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore A=2000\times \left(1+\frac{5}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=2000\times \left(\frac{100+5}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=2000\times \left(\frac{105}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=2000\times \left(1.1025\right) \\ &\therefore A=2205\end{aligned}

\therefore रास= 2205 रुपये

म्हणून चक्रवाढ व्याज I=\left(A-P\right)
\begin{aligned} \\ &\therefore I=2205-2000 \\ &\therefore \mathbf{I=205}\end{aligned}

उदा 3:
5000 रुपयांचे 3 वर्षांचे द.सा.द.शे. 8% दराने चक्रवाढ व्याज काढा.
उत्तर:
आता आपल्याला काय दिलं आहे, ते लिहून घेऊया,
मुद्दल P = 5000 रुपये
मुदत N = 3 वर्षे
व्याजाचा वार्षिक दर R = 8%

चक्रवाढ व्याज काढण्याआधी आपल्याला रास काढावी लागणार आहे आणि त्याचं सूत्र आहे,
\begin{aligned} \\ &A=P\left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore A=5000\times \left(1+\frac{8}{100}\right)^3 \\ &\therefore A=5000\times \left(\frac{100+8}{100}\right)^3 \\ &\therefore A=5000\times \left(\frac{108}{100}\right)^3 \\ &\therefore A=5000\times \left(1.2597\right) \\ &\therefore A=6298.56\end{aligned}

\therefore रास= 6298.56 रुपये

म्हणून चक्रवाढ व्याज I=\left(A-P\right)
\begin{aligned} \\ &\therefore I=6298.56-5000 \\ &\therefore \mathbf{I=1298.56}\end{aligned}

उदा 4:
4000 रुपयांचे 2 वर्षांचे द.सा.द.शे. 7.5% दराने चक्रवाढ व्याज काढा.
उत्तर:
आता आपल्याला काय दिलं आहे, ते लिहून घेऊया,
मुद्दल P = 4000 रुपये
मुदत N = 1 वर्षे
व्याजाचा वार्षिक दर R = 7.5%

चक्रवाढ व्याज काढण्याआधी आपल्याला रास काढावी लागणार आहे आणि त्याचं सूत्र आहे,
\begin{aligned} \\ &A=P\left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore A=4000\times \left(1+\frac{7.5}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=4000\times \left(\frac{100+7.5}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=4000\times \left(\frac{1.075}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=4000\times \left(1.1556\right) \\ &\therefore A=4622.5\end{aligned}

\therefore रास= 4622.5 रुपये

म्हणून चक्रवाढ व्याज I=\left(A-P\right)
\begin{aligned} \\ &\therefore I=4622.5-4000 \\ &\therefore \mathbf{I=622.5}\end{aligned}

उदा 5:
समीरने एका पतपेढीतून द.सा.द.शे. 12% दरा ने 3 वर्षांसाठी 12,500 रुपये कर्ज घेतले. तर त्याला तिसऱ्या वर्ष अखेर चक्रवाढ व्याज आकारणीने एकूण किती रुपये परतफेड करावी लागेल?
उत्तर:
आता आपल्याला काय दिलं आहे, ते लिहून घेऊया,
मुद्दल P = 12,500 रुपये
मुदत N = 3 वर्षे
व्याजाचा वार्षिक दर R = 12%

इथे आपल्याला 3 वर्षांनंतरची रास काढावी लागणार आहे.
\begin{aligned} \\ &A=P\left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore A=12,500\times \left(1+\frac{12}{100}\right)^3 \\ &\therefore A=12,500\times \left(\frac{100+12}{100}\right)^3 \\ &\therefore A=12,500\times \left(\frac{112}{100}\right)^3 \\ &\therefore A=12,500\times \left(1.4049\right) \\ &\therefore A=17,561.60\end{aligned}

\therefore तिसऱ्या वर्ष अखेर चक्रवाढ व्याज आकारणीने समीरला एकूण 17,561.60 रुपये परतफेड करावी लागेल.

उदा 6:
शलाकाने व्यवसाय सुरू करण्यासाठी द.सा.द.शे. 10\frac{1}{2} दराने 8000 रुपये कर्ज घेतले. तर 2 वर्षांनंतर कर्ज परतफेड करताना चक्रवाढ व्याज आकारणीने तिला किती व्याज भरावे लागेल?
उत्तर:
आता आपल्याला काय दिलं आहे, ते लिहून घेऊया,
मुद्दल P = 8000 रुपये
मुदत N = 2 वर्षे
व्याजाचा वार्षिक दर R = 10%

इथे आपल्याला ३ वर्षांनंतरची रास काढावी लागणार आहे.
\begin{aligned} \\ &A=P\left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore A=8000\times \left(1+\frac{10.5}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=8000\times \left(\frac{100+10.5}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=8000\times \left(\frac{110.5}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=8000\times \left(1.221025\right) \\ &\therefore A=9768.2\end{aligned}

म्हणून चक्रवाढ व्याज I=\left(A-P\right)
\begin{aligned} \\ &\therefore I=9768.2-8000 \\ &\therefore \mathbf{I=1768.2}\end{aligned}

\therefore शलाकाला 2 वर्षांनंतर कर्ज परतफेड करताना चक्रवाढ व्याज आकारणीने 1768.20 रुपये व्याज भरावे लागेल.

Go to top

चक्रवाढ व्याजाच्या सूत्राचे उपयोजन

इयत्ता 8 वी साठी चक्रवाढ व्याज म्हणजे काय? हे तुमच्या आता लक्षात आलेलं आहे. आताचक्रवाढ व्याज काढायचे सूत्र वापरून आपण व्यवहारातील इतर काही उदाहरणं सोडवू शकतो. उदाहरणार्थ लोकसंख्येतील वाढ किंवा एखाद्या वस्तूची काळानुरूप कमी होत जाणारी किंमत वगैरे. तर चला आपण अशा प्रकारची काही उदाहरणं सोडवू,

उदा 1:
एका शहराची लोकसंख्या दरवर्षी 8% दराने वाढते. 2010 साली त्या शहराची लोकसंख्या 2,50,000 असल्यास 2012 मध्ये त्या शहराची लोकसंख्या किती होती ?
उत्तर:
आधी या उदाहरणात काय दिलेलं आहे, ते आपण लिहून घेऊ,
शहराची लोकसंख्या P = 2,50,000
लोकसंख्या वाढीचा दर R = 8%
लोकसंख्या वाढीचा कालावधी N = (2012 – 2010) = 2
आता रापण चक्रवाढ व्याजाचं रास काढण्याचं सूत्र वापरून हे उदाहरण सोडवुया,
\begin{aligned} \\ &A=P\times \left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore A=2,50,000\times \left(1+\frac{8}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=2,50,000\times \left(\frac{100+8}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=2,50,000\times \left(\frac{108}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=2,50,000\times \left(1.08\right)^2 \\ &\therefore A=2,50,000\times \left(1.1664\right) \\ &\mathbf{\therefore A=2,91,600}\end{aligned}
म्हणून त्या शहराची लोकसंख्या 2012 मध्ये 2,91,600 होती.

उदा 2:
रेहानाने एक स्कूटर 2015 मध्ये 60,000 रुपयांस विकत घेतली. घसाऱ्याचा दर द.सा.द.शे. 20 असल्यास 2 वर्षांनंतर त्या स्कूटरची कींमत किती होईल?
उत्तर:
आधी या उदाहरणात काय दिलेलं आहे, ते आपण लिहून घेऊ,
स्कूटरची किंमत P = 60,000
घसाऱ्याचा दर R = – 20%
कालावधी N = 2
आता रापण चक्रवाढ व्याजाचं रास काढण्याचं सूत्र वापरून हे उदाहरण सोडवुया,
\begin{aligned} \\ &A=P\times \left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore A=60,000\times \left(1+\frac{-20}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=60,000\times \left(\frac{100-20}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=60,000\times \left(\frac{80}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=60,000\times \left(0.80\right)^2 \\ &\therefore A=60,000\times \left(0.64\right) \\ &\mathbf{\therefore A=38,400}\end{aligned}
म्हणून 2 वर्षांनंतर त्या स्कूटरची कींमत 38,400 रुपये होईल.

उदा 3:
एका रकमेची द.सा.द.शे 10 दरा ने 3 वर्षांनी चक्रवाढ व्याजाने 6655 रुपये रास होते. तर ती रक्कम काढा.
उत्तर:
आधी या उदाहरणात काय दिलेलं आहे, ते आपण लिहून घेऊ,
रास A = 6655
दर R = 10%
कालावधी N = 3
मुद्दल P = ?
आता रापण चक्रवाढ व्याजाचं रास काढण्याचं सूत्र वापरून हे उदाहरण सोडवुया,
\begin{aligned} \\ &A=P\times \left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore 6655=P\times \left(1+\frac{10}{100}\right)^3 \\ &\therefore 6655=P\times \left(\frac{100+10}{100}\right)^3 \\ &\therefore 6655=P\times \left(\frac{110}{100}\right)^3 \\ &\therefore 6655=P\times \left(1.10\right)^3 \\ &\therefore 6655=P\times \left(1.331\right) \\ &\therefore P=\frac{6655}{1.331} \\ &\mathbf{\therefore P=5000}\end{aligned}
म्हणून ती रक्कम 5000 रुपये आहे.

उदा 4:
द.सा.द.शे. 10 दराने 9000 रुपयांचे किती वर्षांचे चक्रवाढ व्याज 1890 रुपये होईल?
उत्तर:
आधी या उदाहरणात काय दिलेलं आहे, ते आपण लिहून घेऊ,
मुद्दल P = 9000
चक्रवाढ व्याज I = 1890
रास A = P + I = 9000 + 1890 = 10,890
दर R = 10%
N = ?

आता रापण चक्रवाढ व्याजाचं रास काढण्याचं सूत्र वापरून हे उदाहरण सोडवुया,
\begin{aligned} \\ &A=P\times \left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore 10,890=9000\times \left(1+\frac{10}{100}\right)^N \\ &\therefore 10,890=9000\times \left(\frac{100+10}{100}\right)^N \\ &\therefore 10,890=9000\times \left(\frac{110}{100}\right)^N \\ &\therefore \frac{10,890}{9000}=\left(\frac{11}{10}\right)^N \\ &\therefore \frac{121}{100}=\left(\frac{11}{10}\right)^N \\ &\therefore \frac{11^2}{10^2}=\left(\frac{11}{10}\right)^N \\ &\therefore \left(\frac{11}{10}\right)^2=\left(\frac{11}{10}\right)^N \\ &\mathbf{\therefore N=2}\end{aligned}
म्हणून 9000 रुपयांचे 2 वर्षांचे चक्रवाढ व्याज 1890 रुपये होईल.

उदा 5:
एका उड्डाणपुलाच्या बांधकामावर सुरुवातीला 320 मजूर होते. दरवर्षी 25% मजूर वाढवण्यात आले, तर दोन वर्षांनंतर त्या कामावर किती मजूर असतील?
उत्तर:
आधी या उदाहरणात काय दिलेलं आहे, ते आपण लिहून घेऊ,
सुरुवातीला असलेल्या मजुरांची संख्या P = 320
ज्या दराने मजुरांची संख्या वाढवण्यात येणार आहे, तो दर R = 25%
कालावधी N = 2
आता रापण चक्रवाढ व्याजाचं रास काढण्याचं सूत्र वापरून हे उदाहरण सोडवुया,
\begin{aligned} \\ &A=P\times \left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore A=320\times \left(1+\frac{25}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=320\times \left(\frac{100+25}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=320\times \left(\frac{125}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=320\times \left(1.25\right)^2 \\ &\therefore A=320\times \left(1.5625\right) \\ &\mathbf{\therefore A=500}\end{aligned}
म्हणून दोन वर्षांनंतर त्या कामावर 500 मजूर असतील.

उदा 6:
एका मेंढपाळाकडे 200 मेंढ्या असतील आणि दरवर्षी त्यांच्या संख्येत 10% ने वाढ होत असेल तर 2 वर्षांनंतर त्याच्याकडे किती मेंढ्या असतील?
उत्तर:
आधी या उदाहरणात काय दिलेलं आहे, ते आपण लिहून घेऊ,
मेंढ्यांची संख्या P = 200
ज्या दराने मेंढ्यांची संख्या वाढणार आहे, तो दर R = 10%
कालावधी N = 2
आता रापण चक्रवाढ व्याजाचं रास काढण्याचं सूत्र वापरून हे उदाहरण सोडवुया,
\begin{aligned} \\ &A=P\times \left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore A=200\times \left(1+\frac{10}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=200\times \left(\frac{100+10}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=200\times \left(\frac{110}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=200\times \left(1.1\right)^2 \\ &\therefore A=200\times \left(1.21\right) \\ &\mathbf{\therefore A=242}\end{aligned}
म्हणून 2 वर्षांनंतर मेंढपाळाकडे 242 मेंढ्या असतील.

उदा 7:
एका अभयारण्यात 40,000 झाडे आहेत. दरवर्षी 5% दराने वृक्षवाढ करण्याचे उद्दिष्ट ठरवण्यात आले असेल, तर 3 वर्षांनंतर त्या अभयारण्यातील झाडांची संख्या किती असली पाहिजे?
उत्तर:
आधी या उदाहरणात काय दिलेलं आहे, ते आपण लिहून घेऊ,
झाडांची संख्या P = 40,000
वृक्षवाढीचा दर R = 5%
कालावधी N = 3
आता रापण चक्रवाढ व्याजाचं रास काढण्याचं सूत्र वापरून हे उदाहरण सोडवुया,
\begin{aligned} \\ &A=P\times \left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore A=40,000\times \left(1+\frac{5}{100}\right)^3 \\ &\therefore A=40,000\times \left(\frac{100+5}{100}\right)^3 \\ &\therefore A=40,000\times \left(\frac{105}{100}\right)^3 \\ &\therefore A=40,000\times \left(1.05\right)^3 \\ &\therefore A=40,000\times \left(1.1576\right) \\ &\mathbf{\therefore A=46,305}\end{aligned}
म्हणून 3 वर्षांनंतर त्या अभयारण्यातील झाडांची संख्या 46,305 असली पाहिजे.

उदा 8:
आज एक मशीन 2,50,000 रुपयांना खरेदी केले. घसाऱ्याचा दर दरवर्षी 10% असल्यास दोन वर्षांनंतर मशीनची किंमत खरेदीपेक्षा किती कमी होईल?
उत्तर:
आधी या उदाहरणात काय दिलेलं आहे, ते आपण लिहून घेऊ,
मशीनची किंमत P = 2,50,000
घसाऱ्याचा दर R = – 10%
कालावधी N = 2
आता रापण चक्रवाढ व्याजाचं रास काढण्याचं सूत्र वापरून हे उदाहरण सोडवुया,
\begin{aligned} \\ &A=P\times \left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore A=2,50,000\times \left(1+\frac{-10}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=2,50,000\times \left(\frac{100-10}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=2,50,000\times \left(\frac{90}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=2,50,000\times \left(1.05\right)^2 \\ &\therefore A=2,50,000\times \left(0.81\right) \\ &\mathbf{\therefore A=2,02,500}\end{aligned}

घसाऱ्यामुळे मशीनची किंमत किती रुपयांनी कमी झाली D = (मशीनची मूळ किंमत – घसाऱ्यामुळे कमी झालेली किंमत)
\begin{aligned} \\ &\therefore D=(2,50,000)-(2,02,500) \\ &\mathbf{\therefore D= 47,500}\end{aligned}
म्हणून दोन वर्षांनंतर मशीनची किंमत खरेदी केलेल्या किमतीपेक्षा 47,500 रुपयांनी कमी होईल.

उदा 9:
एका मुद्दलाची द.सा.द.शे. 16 दराने चक्रवाढ व्याजाने दोन वर्षांची रास 4036.80 रुपये झाली. तर दोन वर्षांत झालेले व्याज किती?
उत्तर:
आधी या उदाहरणात काय दिलेलं आहे, ते आपण लिहून घेऊ,
रास A = 4036.80
व्याजाचा दर R = 16%
मुदत N = 2
चक्रवाढ व्याज I = ?
आता रापण चक्रवाढ व्याजाचं रास काढण्याचं सूत्र वापरून हे उदाहरण सोडवुया,
\begin{aligned} \\ &A=P\times \left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore 4036.80=P\times \left(1+\frac{16}{100}\right)^2 \\ &\therefore 4036.80=P\times \left(\frac{100+16}{100}\right)^2 \\ &\therefore 4036.80=P\times \left(\frac{116}{100}\right)^2 \\ &\therefore 4036.80=P\times \left(1.16\right)^2 \\ &\therefore 4036.80=P\times \left(1.3456\right) \\ &\therefore P=\left(\frac{4036.80}{1.3456}\right) \\ &\mathbf{\therefore P=3000}\end{aligned}

चक्रवाढ व्याज = (रास – मुद्दल)
\begin{aligned} \\ &\therefore I=A-P \\ &\therefore I=4036.80-3000 \\ &\mathbf{\therefore I=1036.80}\end{aligned}
म्हणून दोन वर्षांचे 1036.80 रुपये चक्रवाढ व्याज मिळेल.

उदा 10:
15,000 रुपये चक्रवाढ व्याजाने द.सा.द.शे. 12 दराने कर्जाऊ घेतले तर 3 वर्षांनी कर्ज फेडताना किती रुपये द्यावे लागतील?
उत्तर:
आधी या उदाहरणात काय दिलेलं आहे, ते आपण लिहून घेऊ,
मुद्दल P = 15,000
व्याजाचा दर R = 12%
मुदत N = 3
रास A = ?
आता रापण चक्रवाढ व्याजाचं रास काढण्याचं सूत्र वापरून हे उदाहरण सोडवुया,
\begin{aligned} \\ &A=P\times \left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore A=15,000\times \left(1+\frac{12}{100}\right)^3 \\ &\therefore A=15,000\times \left(\frac{100+12}{100}\right)^3 \\ &\therefore A=15,000\times \left(\frac{112}{100}\right)^3 \\ &\therefore A=15,000\times \left(1.12\right)^3 \\ &\therefore A=15,000\times \left(1.4049\right) \\ &\mathbf{\therefore A=21,073.92}\end{aligned}
म्हणून 3 वर्षांनी कर्ज फेडताना 21,073.92 रुपये द्यावे लागतील.

उदा 11:
द.सा.द.शे. 18 दराने चक्रवाढ व्याजाने एका मुद्दलाची 2 वर्षांची रास 13,924 रुपये झाली, तर मुद्दल किती होते ?
उत्तर:
आधी या उदाहरणात काय दिलेलं आहे, ते आपण लिहून घेऊ,
रास A = 13,924
व्याजाचा दर R = 18%
मुदत N = 2
मुद्दल P = ?

आता रापण चक्रवाढ व्याजाचं रास काढण्याचं सूत्र वापरून हे उदाहरण सोडवुया,
\begin{aligned} \\ &A=P\times \left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore 13,924=P\times \left(1+\frac{18}{100}\right)^2 \\ &\therefore 13,924=P\times \left(\frac{100+12}{100}\right)^2 \\ &\therefore 13,924=P\times \left(\frac{118}{100}\right)^2 \\ &\therefore 13,924=P\times \left(1.18\right)^2 \\ &\therefore 13,924=P\times \left(1.3924\right) \\ &\therefore P=\frac{13,924}{1.3924} \\ &\mathbf{\therefore P=10,000}\end{aligned}
म्हणून मुद्दल 10,000 रुपये होते.

उदा 12:
शहराच्या एका उपनगराची लोकसंख्या विशिष्ट दराने वाढते. आजची व दोन वर्षांनंतरची लोकसंख्या अनुक्रमे 16,000 व 17,640 असतील, तर लोकसंख्या वाढीचा दर काढा.
उत्तर:
आधी या उदाहरणात काय दिलेलं आहे, ते आपण लिहून घेऊ,
आजची लोकसंख्या (मुद्दल ) P = 16,000
दोन वर्षांनंतरची लोकसंख्या (रास) A = 17,640
कालावधी (मुदत) N = 2
व्याजाचा दर R = ?

आता रापण चक्रवाढ व्याजाचं रास काढण्याचं सूत्र वापरून हे उदाहरण सोडवुया,
\begin{aligned} \\ &A=P\times \left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore 17,640=16,000\times \left(1+\frac{R}{100}\right)^2 \\ &\therefore 17,640=16,000\times \left(\frac{100+R}{100}\right)^2 \\ &\therefore \frac{17,640}{16,000}=\frac{\left(100+R\right)^2}{\left(100\right)^2} \\ &\therefore \frac{17,640}{16,000}=\frac{\left(100+R\right)^2}{10,000} \\ &\therefore 1.1025=\frac{\left(100+R\right)^2}{10,000} \\ &\therefore 1.1025\times 10,000=\left(100+R\right)^2 \\ &\therefore 11025=\left(100+R\right)^2 \\ &\therefore \sqrt{11025}=\sqrt{\left(100+R\right)^2} \\ &\therefore 105=100+R \\ &\therefore R=105-100 \\ &\mathbf{\therefore R=5}\end{aligned}
म्हणून लोकसंख्या वाढीचा दर 5% होता.

उदा 13:
700 रुपयांची द.सा.द.शे. 10 दराने किती वर्षांत 847 रुपये रास होईल ?
उत्तर:
आधी या उदाहरणात काय दिलेलं आहे, ते आपण लिहून घेऊ,
रास A = 847
मुद्दल P = 700
व्याजाचा दर R = 10%
मुदत N = ?

आता रापण चक्रवाढ व्याजाचं रास काढण्याचं सूत्र वापरून हे उदाहरण सोडवुया,
\begin{aligned} \\ &A=P\times \left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore 847=700\times \left(1+\frac{10}{100}\right)^N \\ &\therefore 847=700\times \left(\frac{100+10}{100}\right)^N \\ &\therefore 847=700\times \left(\frac{110}{100}\right)^N \\ &\therefore \frac{847}{700}=\left(\frac{110}{100}\right)^N \\ &\therefore 1.21=\left(\frac{110}{100}\right)^N \\ &\therefore \frac{121}{100}=\left(\frac{110}{100}\right)^N \\ &\therefore \frac{11^2}{10^2}=\left(\frac{11}{10}\right)^N \\ &\therefore \left(\frac{11}{10}\right)^2=\left(\frac{11}{10}\right)^N \\ &\mathbf{\therefore N=2}\end{aligned}
म्हणून लोकसंख्या वाढीचा दर 5% होता.

उदा 14:
द.सा.द.शे. 8 दराने होणारे 20,000 रुपयांवरील 2 वर्षांचे सरळ व्याज आणि चक्रवाढ व्याज यांतील फरक काढा.
उत्तर:
आधी या उदाहरणात काय दिलेलं आहे, ते आपण लिहून घेऊ,
मुद्दल P = 20,000
व्याजाचा दर R = 8%
मुदत N = 2
(चक्रवाढ व्याज – सरळ व्याज) = ?

आता रापण चक्रवाढ व्याजाचं रास काढण्याचं सूत्र वापरून हे उदाहरण सोडवुया,
\begin{aligned} \\ &A=P\times \left(1+\frac{R}{100}\right)^N \\ &\therefore A=20,000\times \left(1+\frac{8}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=20,000\times \left(\frac{100+8}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=20,000\times \left(\frac{108}{100}\right)^2 \\ &\therefore A=20,000\times \left(1.08\right)^2 \\ &\therefore A=20,000\times \left(1.1664\right) \\ &\mathbf{\therefore A=23,328}\end{aligned}

चक्रवाढ व्याज = (रास – मुद्दल)
\begin{aligned} \\ &\therefore CI=A-P \\ &\therefore CI=23,328-20,000 \\ &\mathbf{\therefore CI=3328}\end{aligned}
म्हणून दोन वर्षांचे चक्रवाढ व्याज = 3328 रुपये.

सरळ व्याज:
\begin{aligned} \\ &\therefore SI=P\times \frac{R}{100} \\ &\therefore SI=20,000\times \frac{8}{100} \\ &\therefore SI=20,000\times 0.08 \\ &\therefore SI=1600\end{aligned}

2 वर्षांचे सरळ व्याज:
\begin{aligned} \\ &SI = 2\times SI \\ &SI = 2\times 1600 \\ &\mathbf{SI=3200}\end{aligned}
म्हणून दोन वर्षांचे सरळ व्याज = 3200 रुपये.

(चक्रवाढ व्याज – सरळ व्याज):
\begin{aligned} \\ &CI-SI=3328-3200 \\ &\mathbf{CI-SI=128}\end{aligned}
म्हणून चक्रवाढ व्याज आणि सरळ व्याजातला फरक 128 रुपये आहे.

Go to top

इयत्ता 8 वी गणित पाठ्यपुस्तक: इथे क्लिक करा

इयत्ता 8 वी गणिताच्या संपूर्ण मार्गदर्शनासाठी खालील लिंक्सवर क्लिक करा: