इयत्ता 8 वी एकचल समीकरणे म्हणजे काय?

इयत्ता 8 वी एकचल समीकरणे म्हणजे काय?: एकचल समीकरणे ही केवळ एक चल (variable) असलेली समीकरणे आहेत. साधारणतः ती ax+b=0 या स्वरूपात लिहिली जातात, जेथे a आणि b ह्या संख्या असतात आणि x हा अज्ञात चल असतो. या समीकरणांचे निराकरण करून x ची योग्य किंमत शोधता येते.

एका चलातील बैजिकराशी

एकचल समीकरणे शिकायच्या आधी आपण एका चलातील बैजिक राशी म्हणजे काय ते बघू,

एका चलातील बैजिकराशी म्हणजे काय?
2x+1 ह्या बैजिक राशीत x हे एकच चल (variable – व्हेरीएबल) असल्याने अशा बैजिकराशींना एका चलातील बैजिकराशी म्हणतात.

Go to top

बीजगणितीय समीकरणे

एकचल समीकरणे शिकायच्या आधी आपण बीजगणितीय समीकरण म्हणजे काय ते बघू,

बीजगणितीय समीकरण म्हणजे काय?
बीजगणितीय समीकरण म्हणजे बैजिकराशींतील समानता होय. जेंव्हा समीकरणात एका चलातील बैजिकराशी असतात, तेंव्हा त्या समीकरणांना एका चलातील समीकरणं म्हणतात. समानता दर्शवण्यासाठी, समीकरणांमध्ये बरोबर चिन्हाचा (=) उपयोग केलेला असतो.

उदाहरणार्थ: 5x+7=12
1) समीकरण सोडवताना समीकरणाच्या दोन्ही बाजू समान होतील अशी चलाची किंमत शोधली जाते.
2) समीकरणाच्या दोन्ही बाजू समान होतील अशा चलाच्या किमतीलाच समीकरणाची उकल किंवा समीकरणाचं उत्तर म्हणतात.
3) समीकरणाची उकल शोधण्यासाठी, म्हणजेच समीकरणाच्या दोन्ही बाजू समान होतील, अशी चलाची किंमत शोधण्यासाठी समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंवर समान गणितीय क्रिया कराव्या लागतात. त्या गणितीय क्रिया कोणत्या, ते आता पाहू,
a) समीकरणाच्या दोनी बाजूंमध्ये समान संख्या मिळवावी लागते.
b) समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून समान संख्या वजा करावी लागते.
c) समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान संख्येने गुणावे लागते.
d) समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान संख्येने भागावे लागते.

आता आपण काही उदाहरणांच्या सहाय्याने एकचल समीकरणे कशी सोडवली जातात ते बघू,

Go to top

एकापेक्षा जास्त गणितीय क्रिया करून सोडवलेली समीकरणे

आता आपण समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंवर एकापेक्षा जास्त गणितीय क्रिया करून इयत्ता 8 वी साठी एकचल समीकरणे कशी सोडवली जातात ते बघू,

Go to top

अपूर्णांक स्वरूपातील समीकरणे

जेंव्हा A, B, C, D ह्या शून्येतर राशींसाठी \frac{A}{B}=\frac{C}{D} असते, तेंव्हा AD=BC हे समीकरण मिळते. ह्या सूत्राचा उपयोग करून आपण काही अपूर्णांक स्वरूपातील एकचल समीकरणे सोडवुया,

Go to top

एकचल समीकरणे उदाहरणे

खालील प्रत्येक समीकरणापुढे चलाच्या किमती दिलेल्या आहेत. त्यापैकी कोणती किंमत त्या समीकरणाची उकल आहे, ते ठरवा.

खालील एकचल समीकरणे सोडावा:

उदा 1:
\begin{aligned}17p-2=49\end{aligned}
उत्तर:
17p-2=49

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंत 2 मिळवूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 17p-2+2=49+2 \\ & \therefore 17p=51\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 17 ने भागूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{17p}{17}=\frac{51}{17} \\ & \mathbf{\therefore p=3}\end{aligned}

उदा 2:
\begin{aligned}2m+7=9\end{aligned}
उत्तर:
2m+7=9

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून 7 वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 2m+7-7=9-7 \\ & \therefore 2m=2\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने भागूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{2m}{2}=\frac{2}{2} \\ & \mathbf{\therefore m=1}\end{aligned}

उदा 3:
\begin{aligned}3x+12=2x-4\end{aligned}
उत्तर:
3x+12=2x-4

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून \left(2x-4\right) वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \left(3x+12\right)-\left(2x-4\right) = \left(2x-4\right) - \left(2x-4\right) \\ & \therefore 3x+12-2x+4=2x-4-2x+4 \\ & \therefore x+16=0\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून 16 वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore x+16-16=0-16 \\ & \mathbf{\therefore x=-16}\end{aligned}

उदा 4:
\begin{aligned}5\left(x - 3\right) = 3\left(x + 2\right)\end{aligned}
उत्तर:
\begin{aligned} \\ & 5\left(x - 3\right) = 3\left(x + 2\right) \\ & \therefore 5x-15=3x+6\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंत 15 मिळवूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 5x-15+15=3x+6+15 \\ & \therefore 5x=3x+21\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून 3x वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 5x-3x=3x-3x+21 \\ & \therefore 2x=21\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने भागूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{2x}{2}=\frac{21}{2} \\ & \mathbf{\therefore x=\frac{27}{2}}\end{aligned}

उदा 5:
\begin{aligned}\frac{9x}{8}+1=10\end{aligned}
उत्तर:
\frac{9x}{8}+1=10

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून 1 वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{9x}{8}+1-1=10-1 \\ & \therefore \frac{9x}{8}=9\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 9 ने भागूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{9x}{8}\times \frac{1}{9}=9\times \frac{1}{9} \\ & \therefore \frac{x}{8}=1\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 8 ने गुणूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{x}{8}\times 8=1\times 8 \\ & \mathbf{\therefore x=8}\end{aligned}

उदा 6:
\begin{aligned}\frac{y}{7}+\frac{y-4}{3}=2\end{aligned}
उत्तर:
\frac{y}{7}+\frac{y-4}{3}=2

आधी हे समीकरण सोपं करून घेऊ,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{3y+7y-28}{21}=2 \\ & \therefore \frac{10y-28}{21}=2\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून 2 वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{10y-28}{21}-2=2-2 \\ & \therefore \frac{10y-28-42}{21}=0 \\ & \therefore \frac{10y-70}{21}=0 \\ & \therefore \frac{10y}{21}-\frac{70}{21}=0\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंत \frac{70}{21} मिळवूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{10y}{21}-\frac{70}{21}+\frac{70}{21}=0+\frac{70}{21} \\ & \therefore \frac{10y}{21}=\frac{70}{21}\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 21 ने गुणूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{10y}{21}\times 21=\frac{70}{21}\times 21 \\ & \therefore 10y=70\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 10 ने भागूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{10y}{10}=\frac{70}{10} \\ & \mathbf{\therefore y=7}\end{aligned}

उदा 7:
\begin{aligned}13x-5=\frac{3}{2}\end{aligned}
उत्तर:
13x-5=\frac{3}{2}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंत 5 मिळवूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 13x-5+5=\frac{3}{2}+5 \\ & \therefore 13x=\frac{3+10}{2} \\ & \therefore 13x=\frac{13}{2}\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 13 ने भागूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{13x}{13}=\frac{13}{2}\times \frac{1}{13} \\ & \mathbf{\therefore x=\frac{1}{2}}\end{aligned}

उदा 8:
\begin{aligned}3\left(y+8\right)=10\left(y-4\right)+8\end{aligned}
उत्तर:
\begin{aligned} \\ & 3\left(y+8\right)=10\left(y-4\right)+8 \\ & \therefore 3y+24=10y-40+8 \\ & \therefore 3y+24=10y-32\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून 24 वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 3y+24-24=10y-32-24 \\ & \therefore 3y=10y-56\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून 3y वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 3y-3y=10y-56-3y \\ & \therefore 0=7y-56\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंत 56 मिळवूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 0+56=7y-56+56 \\ & \therefore 56=7y\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 7 ने भागूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{56}{7}=\frac{7x}{7} \\ & \mathbf{\therefore y=8}\end{aligned}

उदा 9:
\begin{aligned}\frac{x-9}{x-5}=\frac{5}{7}\end{aligned}
उत्तर:
\begin{aligned} \\ & \frac{x-9}{x-5}=\frac{5}{7} \\ & \therefore 7x-63=5x-25\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंत 25 मिळवूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 7x-63+25=5x-25+25 \\ & \therefore 7x-38=5x\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून 5x वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 7x-38-5x=5x-5x \\ & \therefore 2x-38=0\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंत 38 मिळवूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 2x-38+38=0+38 \\ & \therefore 2x=38\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने भागूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{2x}{2}=\frac{38}{2} \\ & \mathbf{\therefore x=19}\end{aligned}

उदा 10:
\begin{aligned}\frac{y-4}{3}+3y=4\end{aligned}
उत्तर:
\begin{aligned} \\ & \frac{y-4}{3}+3y=4 \\ & \frac{10y-4}{3}=4 \\ & \therefore 7x-63=5x-25\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंत 25 मिळवूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 7x-63+25=5x-25+25 \\ & \therefore 7x-38=5x\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून 5x वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 7x-38-5x=5x-5x \\ & \therefore 2x-38=0\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंत 38 मिळवूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 2x-38+38=0+38 \\ & \therefore 2x=38\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने भागूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{2x}{2}=\frac{38}{2} \\ & \mathbf{\therefore x=19}\end{aligned}

उदा 11:
\begin{aligned}\frac{b+\left(b+1\right)+\left(b+2\right)}{4}=21\end{aligned}
उत्तर:
\begin{aligned} \\ & \frac{b+\left(b+1\right)+\left(b+2\right)}{4}=21 \\ & \therefore \frac{b+b+1+b+2}{4}=21 \\ & \therefore \frac{3b+3}{4}=21\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{3b+3}{4}\times 4=21\times 4 \\ & \therefore 3b+3=84\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून 3 वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 3b+3-3=84-3 \\ & \therefore 3b=81\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने भागूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{3b}{3}=\frac{81}{3} \\ & \mathbf{\therefore b=27}\end{aligned}

ह्या उदाहरणांवरून एकचल समीकरणे कशा प्रकारे सोडवली जातात, हे तुमच्या लक्षात आलं असेल.

Go to top

एकचल समीकरणे शाब्दिक उदाहरणे

शाब्दिक उदाहरणं म्हणजे काय ते आपण काही उदाहरणांवरून समजावून घेऊ,
1) अनिलला वार्षिक परीक्षेत प्रथमेशच्या गुणांपेक्षा 20 गुण जास्त मिळाले. जर प्रथमेशचे गुण 55 असतील, तर अनिलला मिळालेले गुण किती?
2) क्रिकेटच्या सामन्यात स्मिता आणि स्नेहा ह्यांच्या धावांची बेरीज 210 आहे; जर स्मिताने 92 धावा केल्या आहेत, तर स्नेहाच्या धावा किती?
3) अमोलच्या वडिलांचं वय त्याच्या वयाच्या तिप्पटीहुन 4 वर्षे जास्त आहे. जर वडिलांचं वय 49 वर्षे असेल तर अमोलचं वय किती?
ह्या उदाहरणांवरून तुमच्या लक्षात आलं असेल की शाब्दिक उदाहरणं कशा स्वरूपाची असतात. ही उदाहरणं सोडवताना अतिशय काळजीपूर्वक वाचावी लागतात. दिलेल्या उदाहरणावरून आपल्याला समीकरण तयार करून घ्यावे लागते आणि त्या समीकरणाची उकल हे त्या उदाहरणाचे उत्तर असते.

Go to top

शाब्दिक उदाहरणे

उदा 1:
माझ्या मित्राचं वय माझ्या वयाच्या निम्म्यापेक्षा 5 वर्षे जास्त आहे. जर मित्राचं वय 12 असेल तर माझं वय किती?
उत्तर:
आधी उदाहरण नीट वाचा: “. . . तर माझं वय किती?” -> इथे आपल्याला “माझं” वय काढायचं आहे. त्यामुळे आपण “माझं वय” x वर्षे मानू.

आता उदाहरणाचा पहिला भाग वाचा: “माझ्या मित्राचं वय माह्या वयाच्या निम्म्यापेक्षा 5 वर्षे जास्त आहे.” -> माझं वय x वर्षे मानलं आहे, म्हणून माझं निम्म वय होईल \left(\frac{1}{2}\times x\right) वर्षे आणि मित्राचं वय \left(\frac{1}{2}\times x\right)+5 वर्षे होईल.

आता उदाहरणाचा दुसरा भाग वाचा: “जर मित्राचं वय 12 वर्षे असेल . . .” -> म्हणजे \left(\frac{1}{2}\times x\right)+5=12, आता हे समीकरण आपण सोडवूया,

\begin{aligned} \\ & \left(\frac{1}{2}\times x\right)+5=12\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून 5 वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \left(\frac{1}{2}\times x\right)+5-5=12-5 \\ & \therefore \frac{x}{2}=7\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{x}{2}\times 2=7\times 2 \\ & \mathbf{\therefore x=14}\end{aligned}
म्हणून “माझं वय” 14 वर्षे आहे.

उदा 2:
समीरचं वजन त्याच्या धाकट्या भावाच्या वजनाच्या दुप्पट आहे. दोघांचे मिळून वजन 63 किग्रॅ आहे, तर समीरचं वजन काढा.
उत्तर:
उदाहरण नीट वाचा: “समीरचं वजन त्याच्या धाकट्या भावाच्या वजनाच्या दुप्पट आहे.” -> म्हणजे भावाचं वजन x मानलं, तर समीरचं वजन 2x होईल.

आता उदाहरणाचा दुसरा भाग वाचा: “दोघांचे मिळून वजन 63 किग्रॅ आहे.” -> म्हणजे x+2x=63. आता हे समीकरण आपण सोडवूया,

\begin{aligned} \\ & x+2x=63 \\ & \therefore 3x=63\end{aligned}

आता समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने भागूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{3x}{3}=\frac{63}{3} \\ & \therefore x=21\end{aligned}
समीरच्या भावाचं वजन 21 किग्रॅ आहे.

म्हणून समीरचं वजन \mathbf{2x=2\times21=42} किग्रॅ आहे.

उदा 3:
एका अपूर्णांकाचा अंश त्याच्या छेदापेक्षा 5 ने मोठा आहे. अंश व छेद यांमध्ये प्रत्येकी 4 मिळवल्यास \frac{6}{5} हा अपूर्णांक मिळतो, तर तो अपूर्णांक काढा.
उत्तर:
उदाहरण नीट वाचा: “एका अपूर्णांकाचा अंश त्याच्या छेदापेक्षा 5 ने मोठा आहे.” -> म्हणजे छेद x असेल, तर अंश x+5 होईल.

आता उदाहरणाचा दुसरा भाग वाचा: “अंश व छेद यांमध्ये प्रत्येकी 4 मिळवल्यास \frac{6}{5} हा अपूर्णांक मिळतो.” -> \frac{\left(x+5\right)+4}{x+4}=\frac{6}{5}. आता हे समीकरण आपण सोडवूया,

\begin{aligned} \\ & \frac{\left(x+5\right)+4}{x+4}=\frac{6}{5} \\ & \therefore \frac{x+5+4}{x+4}=\frac{6}{5} \\ & \therefore \frac{x+9}{x+4}=\frac{6}{5} \\ & \therefore 5\times \left(x+9\right)=6\times \left(x+4\right) \\ & \therefore 5x+45=6x+24\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून 24 वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 5x+45-24=6x+24-24 \\ & \therefore 5x+21=6x\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून 5x वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 5x+21-5x=6x-5x \\ & \therefore 21=x \\ & \therefore x=21\end{aligned}
छेद 21 आहे.

अंश छेदापेक्षा 5 ने मोठा आहे.
म्हणून अंश x+5=21+5=26

म्हणून अपूर्णांक \mathbf{\frac{26}{21}} आहे.

उदा 4:
रियान जवळ असलेली रक्कम प्रियांका जवळ असलेल्या रकमेच्या तिपटीपेक्षा 200 रुपयांनी जास्त आहे. रियान जवळचे 300 रुपये प्रियांकाला दिले, तर रियान जवळची रक्कम प्रियांका जवळच्या रकमेच्या \frac{7}{4} पट होते; तर प्रियांका जवळ मूळ रक्कम किती होती?
उत्तर:
उदाहरणाचा पहिला भाग लक्षपूर्वक वाचा: “रियान जवळ असलेली रक्कम प्रियांका जवळ असलेल्या रकमेच्या तिपटीपेक्षा 200 रुपयांनी जास्त आहे.” -> म्हणजे आपण जर प्रियांका जवळची रक्कम x मानली, तर रियान जवळची रक्कम \left(3x+200\right) होईल.

आता उदाहरणाचा दुसरा भाग वाचा: “रियान जवळचे 300 रुपये प्रियांकाला दिले . . .” -> ह्याचा अर्थ प्रियांका जवळची रक्कम आता 300 रुपयांनी वाढली आहे, म्हणजे \left(x+300\right) रुपये झाली आहे. आणि त्याच प्रमाणे रियान जवळची रक्कम आता 300 रुपयांनी कमी झाली आहे, म्हणजे \left(3x+200\right)-300 रुपये झाली आहे.

परत एकदा उदाहरणाचा दुसरा भाग वाचा: “रियान जवळचे 300 रुपये प्रियांकाला दिले, तर रियान जवळची रक्कम प्रियांका जवळच्या रकमेच्या \frac{7}{4} पट होते” -> ह्याचा अर्थ (रियान जवळची रक्कम)=\frac{7}{4}\times (प्रियांका जवळची रक्कम), म्हणजेच \left(3x+200\right)-300=\frac{7}{4}\times \left(x+300\right). आता आपण हे समीकरण सोडवूया,

\begin{aligned} \\ & \therefore \left(3x+200\right)-300=\frac{7}{4}\times \left(x+300\right) \\ & \therefore 3x+200-300=\frac{7}{4}\times \left(x+300\right) \\ & \therefore 3x-100=\frac{7}{4}\times \left(x+300\right) \\ & \therefore 4\times \left(3x-100\right)=7\times \left(x+300\right) \\ & \therefore 12x-400=7x+2100\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंत 400 मिळवूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 12x-400+400=7x+2100+400 \\ &\therefore 12x=7x+2500\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून 7x वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 12x-7x=7x+2500-7x \\ & \therefore 5x=2500\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 5 ने भागूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{5x}{5}=\frac{2500}{5} \\ & \mathbf{\therefore x=500}\end{aligned}
प्रियांका जवळ 500 रुपये होते.

उदा 5:
आईचं वय मुलाच्या वयापेक्षा 25 वर्षांनी जास्त आहे. 8 वर्षांनंतर मुलाच्या वयाचे आईच्या वयाशी गुणोत्तर \frac{4}{9} होईल तर मुलाचं वय काढा.
उत्तर:
उदाहरणाचा पहिला भाग लक्षपूर्वक वाचा: “आईचं वय मुलाच्या वयापेक्षा 25 वर्षांनी जास्त आहे.” – म्हणजे मुलाचं वय x वर्षे मानलं तर आईचं वय \left(x+25\right) वर्षे होईल.
आता उदाहरणाचा दुसरा भाग वाचा: “8 वर्षांनंतर मुलाच्या वयाचे आईच्या वयाशी गुणोत्तर \frac{4}{9} होईल” – म्हणजे 8 वर्षांनंतर मुलाचं वय \left(x+8\right) वर्षे होईल आणि आईचं वय \left(x+25\right)+8 वर्षे होईल . म्हणून \left(x+8\right)=\frac{4}{9}\left(x+25\right)+8. आता आपण हे समीकरण सोडवूया,

\begin{aligned} \\ & \therefore \left(x+8\right)=\frac{4}{9}\left(x+25\right)+8 \\ & \therefore \left(x+8\right)=\frac{4}{9}\left(x+33\right) \\ \therefore 9\times \left(x+8\right)=4\times \left(x+33\right) \\ & \therefore 9x+72=4x+132\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून 72 वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 9x+72-72=4x+132-72 \\ & \therefore 9x=4x+60\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून 4x वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 9x-4x=4x+60-4x \\ & \therefore 5x=60\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 5 ने भागूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 5x=60 \\ & \therefore \frac{5x}{5}=\frac{60}{5} \\ & \mathbf{\therefore x=12}\end{aligned}
मुलाचे वय 12 वर्षे आहे.

उदा 6:
एका अपूर्णांकाचा छेद अंशापेक्षा 12 ने मोठा आहे. त्याच्या अंशातून 2 वजा करून आणि छेदात 7 मिळवून तयार झालेला अपूर्णांक \frac{1}{2} शी सममूल्य होतो, तर तो अपूर्णांक कोणता?
उत्तर:
उदाहरणाचा पहिला भाग लक्षपूर्वक वाचा: “एका अपूर्णांकाचा छेद अंशापेक्षा 12 ने मोठा आहे.” – म्हणजे अंश x असेल तर छेद x+12 होईल. \begin{aligned}\therefore \frac{x}{x+12}\end{aligned}
आता उदाहरणाचा दुसरा भाग वाचा: “त्याच्या अंशातून 2 वजा करून आणि छेदात 7 मिळवून . . .” – म्हणजे अंश x-2 होईल आणि छेद x+12 होईल.
\begin{aligned}\therefore \frac{x-2}{x+12+7}=\frac{x-2}{x+19}\end{aligned}
आता उदाहरणाचा तिसरा भाग वाचा: “त्याच्या अंशातून 2 वजा करून आणि छेदात 7 मिळवून तयार झालेला अपूर्णांक \frac{1}{2} शी सममूल्य होतो” – म्हणजे,
\begin{aligned}\frac{x-2}{x+19}=\frac{1}{2}\end{aligned}
आता आपण हे समीकरण सोडवूया,

\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{x-2}{x+19}=\frac{1}{2} \\ & \therefore 2\times (x-2)=1\times (x+19) \\ & \therefore 2x-4=x+19\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंत 4 मिळवूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 2x-4+4=x+19+4 \\ & \therefore 2x=x+23\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून x वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 2x-x=x+23-x \\ & \therefore x=23\end{aligned}
अंश 23 आहे. अंशापेक्षा छेद 12 ने मोठा आहे, म्हणून छेद (23 + 12) = 35 आहे.
म्हणून अपूर्णांक \mathbf{\frac{23}{35}} आहे.

उदा 7:
पितळ या संमिश्रामध्ये तांबे व जस्त यांचे प्रमाण 13:7 असते, तर 700 ग्रॅम वजनाच्या पितळेच्या भांड्यात जस्त किती असेल?
उत्तर:
पितळ आणि जस्ताचे प्रमाण 13:7 आहे. ह्याचा अर्थ 700 ग्रॅम पितळेतले 13 भाग तांबे आहे आणि 7 भाग जस्त आहे. म्हणजेच 700 ग्रॅम पितळ हे एकूण 13 + 7 = 20 भागांचे तयार झालेले आहे.

ह्यावरून आपण पितळेच्या एका भागाचे वजन काढू शकतो. समजा पितळेचा एक भाग x ग्रॅम असेल, तर 20 भाग म्हणजे 20x ग्रॅम होईल.
\therefore 20x=700
आता आपण हे समीकरण सोडवूया,

\begin{aligned} \\ & \therefore 20x=700\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना २० ने भगूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{20x}{20}=\frac{700}{20} \\ & \therefore x=35\end{aligned}
पितळेच्या एका भागाचे वजन 35 ग्रॅम आहे.

पितळेतल्या 13 भाग तांब्याचे वजन काढायला आपल्याला एका भागाच्या वजनाला (म्हणजे 35 ग्रॅमला) 13 ने गुणावे लागणार आहे,
\begin{aligned} \\ & \therefore 35\times 13=455\end{aligned}
म्हणून पितळेतल्या 13 भाग तांब्याचे वजन 455 ग्रॅम आहे.

पितळेतल्या 7 भाग जस्ताचे वजन काढायला आपल्याला एका भागाच्या वजनाला (म्हणजे 35 ग्रॅमला) 7 ने गुणावे लागणार आहे,
\begin{aligned} \\ & \therefore 35\times 7=245\end{aligned}
म्हणून पितळेतल्या 7 भाग जस्ताचे वजन 245 ग्रॅम आहे.

उदा 8:
तीन क्रमागत पूर्ण संख्यांची बेरीज 45 पेक्षा जास्त पण 54 पेक्षा कमी आहे, तर त्या संख्या काढा.
उत्तर:
तीन क्रमागत पूर्ण संख्या x, \left(x+1\right), \left(x+2\right) आहेत, असं मानू.

ह्या संख्यांची बेरीज 45 पेक्षा जास्त पण 54 पेक्षा कमी आहे; ह्याचाच अर्थ ह्या संख्यांची बेरीज 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52 किंवा 53 ह्यांपैकी एक संख्या असायला पाहिजे.

आपण सोयीसाठी आधी बेरीज y आहे असं मानू. म्हणजे इथे y = 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52 किंवा 53 ह्यांपैकी एक संख्या आहे.
\begin{aligned} \\ & \therefore x+\left(x+1\right)+\left(x+2\right)=y \\ & \therefore x+x+1+x+2=y \\ & \therefore 3x+3=y\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून ३ वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 3x+3-3=y-3 \\ & \therefore 3x=y-3\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना ३ ने भागूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{3x}{3}=\frac{y-3}{3} \\ & \therefore x=\frac{y-3}{3}\end{aligned}

आता लक्षात घ्या की, वरील समीकरणात y मधून 3 वजा केल्यानंतर आपल्याला अशी संख्या शोधायची आहे, जीला 3 ने पूर्ण भाग जाईल.
उदाहरण परत एकदा नीट वाचा: आपल्याला 3 क्रमागत “पूर्ण संख्या” शोधायच्या आहेत. जेंव्हा y-3 ला 3 ने पूर्ण भाग जाईल, तेंव्हाच आपल्याला त्या 3 पूर्ण संख्या मिळणार आहेत, ज्यांची बेरीज 45 पेक्षा जास्त पण 54 पेक्षा कमी असेल.
आता y साठी ४६ ते ५३ मधली एक एक संख्या घेऊन आपण x ची किंमत काढायचा प्रयत्न करू,

वरील सारणीत 3 ने 45 ला पूर्ण भाग जातो आणि भागाकार x=15 येतो.
म्हणून \mathbf{x=15, \left(x+1\right)=16} आणि \mathbf{\left(x+2\right)=17} ह्या त्या तीन पूर्ण संख्या आहेत ज्यांची बेरीज 15 + 16 + 17 = 48 आहे आणि 45 < 48 < 54.

वरील सारणीत 3 ने 48 ला पूर्ण भाग जातो आणि भागाकार x=16 येतो.
म्हणून \mathbf{x=16, \left(x+1\right)=17} आणि \mathbf{\left(x+2\right)=18} ह्या त्या तीन पूर्ण संख्या आहेत ज्यांची बेरीज 16 + 17 + 18 = 51 आहे आणि 45 < 51 < 54.

15, 16, 17 किंवा 16, 17, 18 ह्या त्या तीन क्रमागत संख्या आहेत, ज्यांची बेरीज 45 पेक्षा जास्त आणि 54 पेक्षा कमी आहे.

उदा 9:
दोन अंकी संख्येतील दशक स्थानचा अंक हा एकक स्थानच्या अंकाच्या दुप्पट आहे. अंकांची अदलाबदल करून येणारी संख्या व मूळ दिलेली संख्या यांची बेरीज 66 आहे, तर दिलेली संख्या कोणती?
उत्तर:

आता आपण आपल्या उदाहरणाकडे येऊया,
उदाहरणाचा पहिला भाग लक्षपूर्वक वाचा: “दोन अंकी संख्येतील दशक स्थानचा अंक हा एकक स्थानच्या अंकाच्या दुप्पट आहे.” – म्हणजे एकक स्थानचा अंक x असेल तर, दशक स्थानचा अंक 2x होईल. म्हणजे ही दोन आकडी संख्या झाली 2xx. ह्यातील 2x हा दशकाचा भाग आहे, तर शेवटचा x हा एककाचा भाग आहे. आपण वर पाहिलेल्या दोन आकडी संख्यांच्या उदाहरणांवरून 2xx ही संख्या खालील प्रमाणे लिहू शकतो,
2xx=\left(2x\times 10\right)+x=20x+x

आता उदाहरणाचा दुसरा भाग वाचा: “अंकांची अदलाबदल करून येणारी संख्या . . . ” – म्हणजे 2xx संख्येतल्या एकक आणि दशक स्थानी असलेल्या अंकांची अदलाबदल केल्यावर मिळणारी संख्या x2x होईल. ह्यातील x हा दशकाचा भाग आहे, तर शेवटचा 2x हा एककाचा भाग आहे. आपण वर पाहिलेल्या दोन आकडी संख्यांच्या उदाहरणांवरून x2x ही संख्या खालील प्रमाणे लिहू शकतो,
x2x=\left(x\times 10\right)+2x=10x+2x

आता उदाहरणाचा शेवटचा भाग वाचा: “अंकांची अदलाबदल करून येणारी संख्या व मूळ दिलेली संख्या यांची बेरीज 66 आहे.” – आता आपण वर काढलेल्या दोन्ही संख्या वापरून समीकरण तयार करूया,
\left(20x+x\right)+\left(10x+2x\right)=66
आता आपण हे समीकरण सोडवूया,

\begin{aligned} \\ & \therefore \left(20x+x\right)+\left(10x+2x\right)=66 \\ & \therefore 20x+x+10x+2x=66 \\ & \therefore 33x=66\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 33 ने भागूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{33x}{33}=\frac{66}{33} \\ & \mathbf{\therefore x=2}\end{aligned}
एककाचा अंक 2 आहे.
दशकाचा अंक 2x=2\times 2=4 आहे.
म्हणजे संख्या आहे 42.

42 ची अदलाबदल करून संख्या मिळते 24.

\mathbf{\therefore 42+24=66} . . . म्हणजे आपल्या उत्तराची पडताळणी झालेली आहे.

उदा 10:
एका चित्रपटगृहावर चित्रपटाची 200 रुपये किमतीची आणि 100 रुपये किमतीची काही तिकिटे विकली गेली. विक्री झालेल्या तिकिटांपैकी 200 रुपये किमतीच्या तिकिटांची संख्या 100 रुपयांच्या तिकिटांच्या संख्येपेक्षा 20 ने जास्त होती. दोन्ही प्रकारच्या तिकिट विक्रीतून चित्रपटगृहाला 37,000 रुपये मिळाले, तर 100 रुपयांची किती तिकिटे विकली गेली?
उत्तर:
उदाहरणाचा पहिला भाग लक्षपूर्वक वाचा: “विक्री झालेल्या तिकिटांपैकी 200 रुपये किमतीच्या तिकिटांची संख्या 100 रुपयांच्या तिकिटांच्या संख्येपेक्षा 20 ने जास्त होती.” – म्हणजे जर आपण 100 रुपयांची x तिकिटे मानली, तर 200 रुपयांची x+20 तिकिटे होतील.

आता उदाहरणाचा दुसरा भाग वाचा: “दोन्ही प्रकारच्या तिकिट विक्रीतून चित्रपटगृहाला 37,000 रुपये मिळाले. ” – म्हणजे (दोन्ही प्रकारच्या खपलेल्या तिकिटांच्या संख्येची बेरीज \times किंमत) = 37,000/- रुपये.
म्हणजेच (100 रुपयांच्या खपलेल्या तिकिटांची एकूण संख्या \times किंमत) + (200 रुपयांच्या खपलेल्या तिकिटांची एकूण संख्या \times किंमत) = 37,000/- रुपये.
\left(x\times 100\right)+\left(\left(x+20\right)\times 200\right)=37000
आता आपण हे समीकरण सोडवूया,

\begin{aligned} \\ & \therefore \left(x\times 100\right)+\left(\left(x+20\right)\times 200\right)=37000 \\ & \therefore 100x+\left(200x+4000\right)=37000 \\ & \therefore 100x+200x+4000=37000 \\ & \therefore 300x+4000=37000\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंतून 4000 वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 300x+4000-4000=37000-4000 \\ & \therefore 300x=33000\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 300 ने भागूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{300x}{300}=\frac{33000}{300} \\ & \mathbf{\therefore x=110}\end{aligned}
100 रुपयांच्या 110 तिकिटांची विक्री झालेली आहे.

उदा 11:
तीन क्रमागत नैसर्गिक संख्यांपैकी सर्वांत लहान संख्येची पाचपट सर्वांत मोठ्या संख्येच्या चौपटीपेक्षा 9 ने अधिक आहे, तर त्या संख्या कोणत्या?
उत्तर:
उदाहरणाचा पहिला भाग वाचा: “तीन क्रमागत नैसर्गिक संख्यांपैकी . . .” – आधी आपल्याला तीन क्रमागत संख्या गृहीत धराव्या लागणार आहेत. सर्वांत लहान संख्या आपण x मानू, म्हणजे त्यापुढील दोन क्रमागत संख्या \left(x+1\right) आणि \left(x+2\right) असतील.

आता उदाहरणाचा पुढचा भाग वाचा: “. . . सर्वांत लहान संख्येची पाचपट सर्वांत मोठ्या संख्येच्या चौपटीपेक्षा 9 ने अधिक आहे.” – सर्वांत लहान संख्या x आहे, तिची पाचपट म्हणजे 5x होईल. सर्वांत मोठ्या संख्येची चौपट 4\times \left(x+2\right) होईल आणि त्या पेक्षा 9 ने अधिक म्हणजे \left(4\times \left(x+2\right)\right)+9.

\therefore 5x=\left(4\times \left(x+2\right)\right)+9
आता आपण हे समीकरण सोडवूया,

\begin{aligned} \\ & \therefore 5x=\left(4\times \left(x+2\right)\right)+9 \\ & \therefore 5x=4x+8+9 \\ & \therefore 5x=4x+17\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजंतून 4x वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 5x-4x=4x+17-4x \\ & \therefore x=17\end{aligned}
तीन क्रमागत संख्यांपैकी सर्वांत लहान संख्या 17.
त्यापुढील दोन क्रमागत संख्या \left(x+1\right) आणि \left(x+2\right) आहेत.
\therefore \left(x+1\right)=17+1=18 आणि \therefore \left(x+2\right)=17+2=19.

म्हणून 17, 18, 19 ह्या त्या तीन क्रमागत संख्या आहेत.

उदा 12:
संजयने त्याची सायकल 8% नफ्याने अमेयला विकली. अमेयने 54 रुपये खर्च करून ती दुरुस्त करून घेतली. ती सायकल त्याने परेशला 1134 रुपयांना विकली. तेव्हा अमेयला नफा किंवा तोटा झाला नाही. तर संजयने ती सायकल किती रुपयांना खरेदी केली होती?
उत्तर:
उदाहरणाचा पहिला भाग वाचा: “संजयने त्याची सायकल 8% नफ्याने अमेयला विकली.” – संजयने x रुपयांना सायकल खरेदी केली होती, असं मानू. ती सायकल त्याने अमेयला 8% नफ्याने विकली, म्हणजे नफा होता \left(x\times \frac{8}{100}\right) रुपये. म्हणजे विक्रीची किंमत झाली, (मूळ किंमत + नफा) = x+\left(x\times \frac{8}{100}\right).

उदाहरणाचा दुसरा भाग वाचा: अमेयने 54 रुपये खर्च करून ती दुरुस्त करून घेतली. म्हणजे अमेयला ती सायकल x+\left(x\times \frac{8}{100}\right)+54 रुपयांना पडली.

उदाहरणाचा तीसरा भाग वाचा: “ती सायकल त्याने परेशला 1134 रुपयांना विकली. तेव्हा अमेयला नफा किंवा तोटा झाला नाही.” – म्हणजे अमेयची खरेदीची किंमत आणि विक्रीची किंमत सारखीच आहे. म्हणून x+\left(x\times \frac{8}{100}\right)+54=1134. आता आपण हे समीकरण सोडवूया,

\begin{aligned} \\ & \therefore x+\left(x\times \frac{8}{100}\right)+54=1134\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजंतून 54 वजा करूया
\begin{aligned} \\ & \therefore x+\left(x\times \frac{8}{100}\right)+54-54=1134-54 \\ & \therefore x+\left(\frac{8x}{100}\right)=1080\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 100 ने गुणूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \left(x+\frac{8x}{100}\right)\times 100=1080\times 100 \\ & \therefore 100x+8x=108000 \\ & \therefore 108x=108000\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजंना 108 ने भागूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{108x}{108}=\frac{108000}{108} \\ & \mathbf{\therefore x=1000}\end{aligned}
संजयने सायकल 1000 रुपयांना विकत घेतली होती.

उदा 13:
एका क्रिकेट खेळाडूने एका सामन्यात 180 धावा काढल्या. दुसऱ्या सामन्यात 257 धावा काढल्या. तिसऱ्या सामन्यात त्याने किती धावा काढल्या तर त्याच्या सामन्यातील धावांची सरासरी 230 होईल?
उत्तर:

आता आपल्या उदाहरणाकडे येऊया,
ह्या उदाहरणात, क्रिकेट खेळाडूची 3 सामन्यातल्या धावांची सरासरी 230 होण्यासाठी त्याल्या तिसऱ्या सामन्यात किती धावा कराव्या लागतील, ते आपल्याला काढायचे आहे. त्यासाठी तिसऱ्या सामन्यात खेळाडूने x धावा केल्या असं मानू.
\therefore सरासरी =\frac{180+257+x}{3}=230. आता आपण हे समीकरण सोडवूया,

\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{180+257+x}{3}=230\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{180+257+x}{3}\times 3=230\times 3 \\ & \therefore 437+x=690\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजंतून 437 वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 437+x-437=690-437 \\ & \mathbf{x=253}\end{aligned}
3 सामन्यातली धावांची सरासरी 230 होण्यासाठी खेळाडूला 253 धावा कराव्या लागतील.

उदा 14:
राहुलचे वय सचिनच्या वयाच्या तिपटीपेक्षा 5 ने जास्त आहे. अनिलचे वय राहुलच्या वयाच्या निमपट आहे. राहुलचे वय आणि सचिनचे वय यांच्या वयांची बेरीज आणि अनिलच्या वयाची तिप्पट यांचे गुणोत्तर 5:6 आहे तर सचिनचे वय काढा.
उत्तर:
उदाहरणाचा पहिला भाग लक्षपूर्वक वाचा: “राहुलचे वय सचिनच्या वयाच्या तिपटीपेक्षा 5 ने जास्त आहे.” –
म्हणजे सचिनचे वय x असेल तर राहुलचे वय \left(3x+5\right) होईल.

उदाहरणाचा दुसरा भाग वाचा: “अनिलचे वय राहुलच्या वयाच्या निमपट आहे.” – राहुलचे वय \left(3x+5\right) असेल तर अनिलचे वय \frac{1}{2}\times \left(3x+5\right) होईल.

उदाहरणाचा तिसरा भाग वाचा: “राहुलचे वय आणि सचिनचे वय यांच्या वयांची बेरीज आणि अनिलच्या वयाची तिप्पट, यांचे गुणोत्तर 5:6 आहे” –
(1) राहुलचे वय आणि सचिनचे वय यांच्या वयांची बेरीज =x+\left(3x+5\right)=4x+5\longrightarrow \mathbf{\left(A\right)}
(2) अनिलच्या वयाची तिप्पट =\frac{3}{2}\times \left(3x+5\right)=\frac{9x+15}{2}\longrightarrow \mathbf{\left(B\right)}
(3) (A) आणि (B) चे गुणोत्तर 5:6 आहे,
\begin{aligned}\therefore 4x+5=\frac{5}{6}\times \frac{9x+15}{2}\end{aligned}
आता आपण हे समीकरण सोडवूया,

\begin{aligned} \\ & \therefore 4x+5=\frac{5}{6}\times \frac{9x+15}{2} \\ & \therefore 4x+5=\frac{5\times (9x+15)}{12} \\ & \therefore 12\times\left(4x+5\right)=5\times \left(9x+15\right) \\ & \therefore 48x+60=45x+75\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजंतून 60 वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 48x+60-60=45x+75-60 \\ & \therefore 48x=45x+15\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजंतून 45x वजा करूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore 48x-45x=45x+15-45x \\ & \therefore 3x=15\end{aligned}

समीकरणाच्या दोन्ही बाजंना 3 ने भागूया,
\begin{aligned} \\ & \therefore \frac{3x}{3}=\frac{15}{3} \\ & \mathbf{\therefore x=5}\end{aligned}
सचिनचे वय 5 वर्षे आहे.

ह्या उदाहरणांवरून एकचल समीकरणे शाब्दिक उदाहरणे कशा प्रकारे सोडवली जातात, हे तुमच्या लक्षात आलं असेल.

Go to top

Go to top

इयत्ता 8 वी गणित पाठ्यपुस्तक: इथे क्लिक करा