इयत्ता 8 वी चलन म्हणजे काय? : “चलन” म्हणजेच “प्रमाण”. चलन म्हणजे दोन किंवा अधिक राशींच्या परस्पर संबंधातील बदल. एखाद्या राशीचे मूल्य बदलल्यावर दुसऱ्या राशीचे मूल्य कसे बदलते, हे चलन दर्शवते. हे मुख्यतः समचलन आणि व्यस्तचलन, या दोन प्रकारांत विभागले जाते.

चलन

इयत्ता 8 वी चलन म्हणजे काय? हे शिकताना आपण प्रथम समचलन आणि व्यस्तचलन म्हणजे काय ते पाहू

समचलन म्हणजे काय?

जेंव्हा राशींची किंवा वस्तूंची दोन वेगवेगळी परिमाणं सारख्या प्रमाणात जास्त किंवा कमी होत असतील तर ती दोन परिमाणं समप्रमाणात किंवा समचलनात आहेत, असं म्हणतात. समचलन हे $\begin{aligned}\left(x\;\alpha\;y\right)\end{aligned}$ असं दर्शवतात.

व्यस्तचलन म्हणजे काय?

जेंव्हा राशींच्या किंवा वस्तूंच्या दोन वेगवेगळ्या परिमाणांपैकी एक परिमाण जास्त झालं की दुसरं त्याच प्रमाणात कमी होत असेल तर ती दोन परिमाणं व्यस्तप्रमाणात किंवा व्यस्तचलनात आहेत, असं म्हणतात. व्यस्तचलन हे $\left(x\;\alpha\;\frac{1}{y}\right)$ असं दर्शवतात.

स्थिरांक किंवा स्थिरपद म्हणजे काय?

जेंव्हा $x$ हे परिमाण $y$ ह्या परिमाणाशी समप्रमाणात असते तेंव्हा आपण $\left(x\;\alpha\;y\right)$ असे लिहितो. $\left(x\;\alpha\;y\right)$ हे $(x = ky)$ असेही दर्शवण्यात येते.
त्याच प्रमाणे जेंव्हा $x$ हे परिमाण $y$ ह्या परिमाणाशी व्यस्तप्रमाणात असते तेंव्हा आपण $\left(x\;\alpha\;\frac{1}{y}\right)$ असे लिहितो. $\left(x\;\alpha\;\frac{1}{y}\right)$ हे $\left(x=k\times \frac{1}{y}\right)$ असेही दर्शवण्यात येते.
इथे “ $k$ ” ह्या संख्येला “स्थिरांक” किंवा “स्थिरपद” असे म्हणतात. दिलेल्या $x$ आणि $y$ ह्या परिमाणांसाठी “ $k$ ” ची किंमत नेहमी स्थिर असते किंवा ती कधीही बदलू शकत नाही.
समचलनात $k=\frac{x}{y}$ आणि व्यस्तचलनात $k = xy$ .

Go to top

आता आपण समचलनाचं एक उदाहरण सोडवूयात म्हणजे ही संकल्पना तुम्हाला व्यवस्थित समजेल.

उदाहरण:

जर एक डझन आंब्यांची किंमत 1200 रुपये असेल तर,

आंब्यांची संख्या	12	3	7
किंमत	1200	300	700

इथे आंब्यांची “संख्या” आणि आंब्यांची “किंमत”, ही आंबा ह्या राशीच्या संबंधित परिमाणं आपण विचारात घेत आहोत.
वरील तक्त्यावरून स्पष्ट होत आहे की आंब्यांच्या संख्येच्या प्रमाणात किमती कमी-जास्त होत आहेत. ह्याचा अर्थ आंब्यांची किंमत आणि संख्या “समप्रमाणात” किंवा “समचलनात” आहेत”.
म्हणजेच (आंब्यांची संख्या $\alpha$ आंब्यांची किंमत).
आता वरचा तक्ता नीट अभ्यासा म्हणजे तुमच्या आणखीन एक गोष्ट लक्षात येईल की आंब्यांची संख्या 12, 3 किंवा 7 अशी बदलत जरी गेली तरी त्या-त्या संख्येचे किमतीबरोबरचे गुणोत्तर समान राहते.
समजा $x =$ आंब्यांची संख्या आणि $y =$ आंब्यांची किंमत.

$\begin{aligned}&\therefore x\;\alpha\;y\\&\therefore x=ky\end{aligned}$

\begin{aligned}&x=12,y=1200 \\ &\therefore 12=k\times 1200 \\ &\therefore k=\frac{12}{1200} \\ &\therefore k=\frac{1}{100} \\ &\therefore k=0.01\end{aligned}

\begin{aligned}&x=3,y=300 \\ &\therefore 3=k\times 300 \\ &\therefore k=\frac{3}{300} \\ &\therefore k=\frac{1}{100} \\ &\therefore k=0.01\end{aligned}

\begin{aligned}&x=7,y=700 \\ &\therefore 7= k\times 700 \\ &\therefore k=\frac{7}{700} \\ &\therefore k=\frac{1}{100} \\ &\therefore k=0.01\end{aligned}

इथे तुमच्या लक्षात येईल की आंब्यांची संख्या 12, 3 किंवा 7 अशी बदलत जरी गेली तरी, $k$ ची किंमत 0.01 ही स्थिर राहते आणि म्हणून $k$ ला स्थिरांक किंवा स्थिरपद, असं म्हणतात.

Go to top

आता आपण व्यस्तचलनाचं एक उदाहरण सोडवूयात म्हणजे ही संकल्पना तुम्हाला व्यवस्थित समजेल.

उदाहरण:

समजा आपल्याकडे 100 पेन्सिली आहेत. जर प्रत्येक बॉक्समध्ये 10 ह्या प्रमाणे पेन्सिली बॉक्समध्ये भरल्या तर आपल्याला 10 बॉक्सेस लागणार आहेत $\left(\frac{100}{10} = 10\right)$ . पण समजा आपण प्रत्येक बॉक्स मध्ये 20 पेन्सिली भरल्या तर आपल्याला किती बॉक्सेस लागतील? अर्थात 5 बॉक्सेस लागतील $\left(\frac{100}{20} = 5\right)$ . त्याच प्रमाणे आपण प्रत्येक बॉक्स मध्ये 50 पेन्सिली भरल्या तर आपल्याला 2 बॉक्सेस लागतील $\left(\frac{100}{50} = 2\right)$ .

पेन्सिलींची संख्या	10	20	50
बॉक्सेसची संख्या	10	5	2

इथे लक्षात घ्या की पेन्सिलींची प्रत्येक बॉक्ससाठीची संख्या वाढली की बॉक्सेसची संख्या कमी होत आहे. ह्याचा अर्थ पेन्सिलींची संख्या आणि बॉक्सेसची संख्या ह्या व्यस्तप्रमाणात किंवा व्यस्तचलनात आहेत.

इथे $x=$ पेन्सिलींची संख्या आणि $y=$ बॉक्सेसची संख्या.

$x\;\alpha\;y$ किंवा $x=k\times \frac{1}{y}$

\begin{aligned} \\& x=10,y=10 \\ & \therefore 10=k\times \frac{1}{10} \\ & \therefore k=10\times 10 \\ & \therefore k=100\end{aligned}

\begin{aligned} \\& x=20,y=5 \\ & \therefore 20=k\times \frac{1}{5} \\ & \therefore k=20\times 5 \\ & \therefore k=100\end{aligned}

\begin{aligned} \\& x=50,y=2 \\ & \therefore 50=k\times \frac{1}{2} \\ & \therefore k=50\times 2 \\ & \therefore k=100\end{aligned}

अशा प्रकारे स्थिरांकाची किंमत ही नेहमी स्थिर राहते.

(1) समचलन (2) व्यस्तचलन आणि (3) स्थिरांक ह्या तीन संकल्पना नीट लक्षात ठेवायच्या.

Go to top

समचलनाची उदाहरणे

चलनाचे चिन्ह वापरून आपण काही राशींच्या परिमाणांमधील चलन दर्शवूया.

उदाहरण 1:
वर्तुळाचा परीघ (c) त्याच्या त्रिज्येशी (r) समप्रमाणात असतो, हे चलनाचे चिन्ह वापरून लिहा.
उत्तर: c α r

उदाहरण 2:
मोटार मध्ये भरलेले पेट्रोल (ℓ) व तिने कापलेले अंतर (d) समचलनात असतात, हे चलनाचे चिन्ह वापरून लिहा.
उत्तर: ℓ α d

उदाहरण 3:
सफरचंदांची किंमत व सफरचंदांची संख्या यांत समचलन आहे. या वरून खालील सारणी पूर्ण करा.
उत्तर:
इथे पहिल्या दोन स्तंभात, आपण आधी सफरचंदांची संख्या (x) आणि किंमत (y) ह्यांच्या दिलेल्या किमतींवरून स्थिरांकाची (k) किंमत काढून घेऊ,

सफरचंदांची संख्या (x)	1	4	? = 7	12	? = 20
सफरचंदांची किंमत (y)	8	32	56	? = 96	160
उत्तर	$\begin{aligned} \\ & x=1,y=8 \\ &x\;\alpha\;y\\&\therefore x=ky \\ & \therefore 1=k\times 8 \\ & \therefore k=\frac{1}{8}\end{aligned}$	$\begin{aligned} \\ & x=4,y=32 \\ & x\;\alpha\;y \\ & \therefore x=ky \\ & \therefore 4=k\times 32 \\ & \therefore k=\frac{4}{32} \\ & \therefore k=\frac{1}{8}\end{aligned}$	$\begin{aligned} \\ & x=?,y=56\\&x\;\alpha\;y \\ & \therefore x=ky \\ & \end{aligned}$ पण $k=\frac{1}{8}$ $\begin{aligned} \\ &\therefore x=\frac{1}{8}\times 56 \\ & \therefore x=\frac{56}{8} \\ & \therefore x=7\end{aligned}$	$\begin{aligned} \\& x=12,y=? \\ & x\;\alpha\;y \\ & \therefore x=ky\end{aligned}$ पण $k=\frac{1}{8}$ $\begin{aligned} & \therefore 12=\frac{1}{8}\times y \\ & \therefore y=12\times 8 \\ &\therefore y=96\end{aligned}$	$\begin{aligned} \\ & x=?,y=56 \\ & x\;\alpha\;y\\&\therefore x=ky\end{aligned}$ पण $k=\frac{1}{8}$ $\begin{aligned} \\ & \therefore x=\frac{1}{8}\times 160 \\ & \therefore x=\frac{160}{8} \\ & \therefore x=20\end{aligned}$

उदाहरण 4:
जर $m\;\alpha\;n$ आणि $m = 154$ असताना $n = 7$ , तर $n = 14$ असताना $m$ ची किंमत काढा.
उत्तर:
या उदाहरणात आपल्याला आधी $m = 154$ आणि $n = 7$ वापरून स्थिरांक $k$ ची किंमत काढावी लागणार आहे.

\begin{aligned}&m\;\alpha\;n\\&\therefore 154 \alpha 7\\&\therefore 154=k\times 7\\&\therefore k=\frac{154}{7}\\&\therefore k=22\end{aligned}

आता

n = 14

असेल तर,

\begin{aligned}&m\;\alpha\;n\\&\therefore m=k\times n\\&\therefore m=22\times 14\\&\therefore m=308\end{aligned}

उदाहरण 5:
n हे m शी समचलनात आहे, तर पुढील सारणी पूर्ण करा.
उत्तर:
इथे पहिल्या दोन स्तंभात, आपण आधी m आणि n ह्यांच्या दिलेल्या किमतींवरून स्थिरांकाची (k) किंमत काढून घेऊ,

m	3	5	6.5	? = 7	1.25
n	12	20	? = 26	28	? = 5
उत्तर	$\begin{aligned} \\ & m=3,n=12 \\ & m\;\alpha\;n \\ & \therefore m=kn \\ & \therefore k=\frac{m}{n} \\ & \therefore k=\frac{3}{12} \\ & \therefore k=\frac{1}{4}\end{aligned}$	$\begin{aligned} \\ & m=5,n=20 \\ & m\;\alpha\;n \\ & \therefore m=kn \\ & \therefore k=\frac{m}{n} \\ & \therefore k=\frac{5}{20} \\ & \therefore k=\frac{1}{4}\end{aligned}$	$\begin{aligned} \\ & m=6.5,n=? \\ & k=\frac{1}{4} \\ & m\;\alpha\;n \\ & \therefore m=kn \\ & \therefore 6.5=\frac{1}{4}\times n \\ & \therefore n=6.5\times 4 \\ & \therefore n=26\end{aligned}$	$\begin{aligned} \\ & m=?,n=28 \\ & k=\frac{1}{4} \\ & m\;\alpha\;n \\ & \therefore m=kn \\ & \therefore m=\frac{1}{4}\times n \\ & \therefore m=\frac{1}{4}\times 28 \\ & \therefore m=7\end{aligned}$	$\begin{aligned} \\ &m=1.25,n=? \\ & k=\frac{1}{4} \\ & m\;\alpha\;n \\ & \therefore m=kn \\ & \therefore 1.25=\frac{1}{4}\times n \\ & \therefore n=1.25\times 4 \\ & \therefore n=5\end{aligned}$

उदाहरण 6:
तांदळाचे पीक काढण्यासाठी 4 मजुरांना 1000 रुपये मजुरी द्यावी लागते. जर मजुरीची रक्कम आणि मजुरांची संख्या समचलनात असेल तर 17 मजुरांना किती मजुरी द्यावी लागेल?
उत्तर:
या उदाहरणात मजुरांची संख्या $x = 4$ , मजुरी $y=1000$ .
$\begin{aligned} \\ & x\;\alpha\;y \\ & \therefore x=ky \\ & \therefore 4=k\times 1000 \\ & \therefore k=\frac{4}{1000} \\ & \therefore k=\frac{1}{250}\end{aligned}$

$\therefore \;$ 17 मजुरांना द्यायची मजुरी,
$\begin{aligned} \\ & \therefore 17=\frac{1}{250}\times y \\ & \therefore y=17\times 250 \\ & \therefore y=4250\end{aligned}$
$\therefore$ 17 मजुरांना 4250 रुपये मजुरी द्यावी लागेल.

Go to top

व्यस्तचलनाची उदाहरणे

उदाहरण 1:
जर $a$ आणि $b$ व्यस्तचलनात असतील तर खालील सारणी पूर्ण करा.
उत्तर:
इथे पहिल्या स्तंभात आपल्याला $a=6$ आणि $b=20$ अशा किमती दिलेल्या आहेत. त्यामुळे आपण आधी $k$ ह्या स्थिरांकाची किंमत काढून घेऊ, म्हणजे आपल्याला पुढच्या स्तंभात $k$ ची किंमत वापरून $a$ आणि $b$ ची किंमत काढता येईल.

a	6	12	15	? = 30
b	20	? = 10	? = 8	4
उत्तर	$\begin{aligned} \\ &a=6,b=20,k=? \\ & a\;\alpha\;\frac{1}{b} \\ & \therefore a=\frac{k}{b} \\ & \therefore 6=\frac{k}{20} \\ & \therefore k=6\times 20 \\ & \therefore k=120\end{aligned}$	$\begin{aligned} \\ &a=12,b=?,k=120 \\ & a\;\alpha\;\frac{1}{b} \\ & \therefore a=\frac{k}{b} \\ & \therefore 12=\frac{120}{b} \\ & \therefore b=\frac{120}{12} \\ & \therefore b=10\end{aligned}$	$\begin{aligned} \\ &a=15,b=?,k=120 \\ & a\;\alpha\;\frac{1}{b} \\ & \therefore a=\frac{k}{b} \\ & \therefore 15=\frac{120} {b} \\ & \therefore b=\frac{120}{15} \\ & \therefore b=8\end{aligned}$	$\begin{aligned} \\ & a=?,b=4,k=120 \\ & a\;\alpha\;\frac{1}{b} \\ & \therefore a=\frac{k}{b} \\ & \therefore a=\frac{120}{4} \\ & \therefore a=\frac{120}{4} \\ & \therefore a=30\end{aligned}$

उदाहरण 2:
$f \alpha \frac{1}{d^2}, d=5$ तेंव्हा $f=18$
i). $d=10$ असताना $f$ ची किंमत काढा.
ii). $f=50$ असताना $d$ ची किंमत काढा.
उत्तर:
आपण आधी दिलेल्या $d =5$ आणि $f =18$ ह्या किमती वापरून $k$ ह्या स्थिरांकाची किंमत काढून घेऊ,

\begin{aligned} \\ & f\;\alpha\;\frac{1}{d^2} \\ & \therefore f=\frac{k}{d^2} \\ & \therefore 18=\frac{k}{5^2} \\ & \therefore 18=\frac{k}{25} \\ & \therefore k=18\times 25 \\ &\therefore k=450\end{aligned}

d=10

असताना

f

ची किंमत:

\begin{aligned} \\ & f\;\alpha\;\frac{1}{d^2} \\ & \therefore f=\frac{k}{d^2} \\ & \therefore f=\frac{450}{10^2} \\ & \therefore f=\frac{450}{100} \\ & \therefore f=4.50\end{aligned}

ii)

f=50

असताना

d

ची किंमत:

\begin{aligned} \\ & f\;\alpha\;\frac{1}{d^2} \\ & \therefore f=\frac{k}{d^2} \\ & \therefore 50=\frac{450}{d^2} \\ & \therefore d^2=\frac{450}{50} \\ & \therefore d^2=9 \\ & \therefore d=3\end{aligned}

उदाहरण 3:
एक काम पूर्ण करण्यासाठी लावलेल्या मजुरांची संख्या आणि काम पूर्ण होण्यासाठी लागणारे दिवस यांची माहिती खालील सारणीत दिली आहे. ती सारणी पूर्ण करा.
उत्तर:
या उदाहरणात पहिले दोन स्तंभ वापरून आपल्याला स्थिरांक k ची किंमत काढावी लागणार आहे आणि ती k ची किंमत वापरून आपल्याला बाकीच्या स्तंभांतील मजुरांची संख्या आणि लागणाऱ्या दिवसांची संख्या काढावी लागणार आहे.

या उदाहरणात मजुरांची संख्या वाढली की काम पूर्ण होण्यासाठी लागणारे दिवस कमी होणार आहेत आणि जर मजुरांची संख्या कमी केली तर काम पूर्ण होण्यासाठी जास्त दिवस लागणार आहेत. म्हणजेच “मजुरांची संख्या” आणि काम पूर्ण करण्यासाठी लागणाऱ्या “दिवसांची संख्या” ही दोन परिमाणं व्यस्तप्रमाणात किंवा व्यस्तचलनात आहेत.

मजुरांची संख्या (a)	30	20	? = 15	10	? = 5
दिवस (b)	6	9	12	? = 18	36
उत्तर	$\begin{aligned} \\ & a=30,b=6,k=? \\ & a\;\alpha\;\frac{1}{b} \\ & \therefore a=\frac{k}{b} \\ & \therefore k=\left(a\right)\times \left(b\right) \\ & \therefore k=30\times 6 \\ & \therefore k=180\end{aligned}$	$\begin{aligned} \\ & a=20,b=9,k=? \\ & a\;\alpha\;\frac{1}{b} \\ & \therefore a=\frac{k}{b} \\ & \therefore k=a\times b \\ & \therefore k=20\times 9 \\ & \therefore k=180\end{aligned}$	$\begin{aligned} \\ & a=?,b=12,k=180 \\ & a\;\alpha\;\frac{1}{b} \\ & \therefore a=\frac{k}{b} \\ & \therefore k=a\times b \\ & \therefore 180=a\times 12 \\ & \therefore a=\frac{180}{12} \\ & \therefore a=15\end{aligned}$	$\begin{aligned} \\ & a=10,b=?,k=180 \\ & a\;\alpha\;\frac{1}{b} \\ & \therefore a=\frac{k}{b} \\ & \therefore b=\frac{k}{a} \\ & \therefore b=18\frac{}{}0 \\ & \therefore a=18\end{aligned}$	$\begin{aligned} \\ & a=?,b=36,k=180 \\ & a\;\alpha\;\frac{1}{b} \\ & \therefore a=\frac{k}{b} \\ & \therefore a=\frac{180}{36} \\ & \therefore a=5\end{aligned}$

उदाहरण 4:
चलनाचा स्थिरांक आणि समीकरण लिहा.
उत्तर:

p\;\alpha\;\frac{1}{q}

p = 15

तेव्हा

q = 4

\begin{aligned} \\ & \therefore p=\frac{k}{q} \\ & \therefore 15=\frac{k}{4} \\ & \therefore k=15\times 4 \\ & \therefore k=60\end{aligned}

स्थिरांक:

k=10

समीकरण:

pq = 60

z\;\alpha\;\frac{1}{w}

z=2.5

तेव्हा

w=24

\begin{aligned} \\ & \therefore z=\frac{k}{w} \\ & \therefore 2.5=\frac{k}{24} \\ & \therefore k=2.5\times 24 \\ & \therefore k=60\end{aligned}

स्थिरांक:

k=60

समीकरण:

zw = 100

s\;\alpha\;\frac{1}{t^2}

s=4

तेव्हा

t=5

\begin{aligned} \\ & \therefore s=\frac{k}{t^2} \\ & \therefore 4=\frac{k}{5^2} \\ & \therefore 4=\frac{k}{25} \\ & \therefore k=4\times 25 \\ & \therefore k=100\end{aligned}

स्थिरांक:

k=100

समीकरण:

st^2 = 100

x\;\alpha\;\frac{1}{\sqrt{y}}

x=15

तेव्हा

y=9

\begin{aligned} \\ & \therefore x=\frac{k}{\sqrt{y}} \\ & \therefore 15=\frac{k}{\sqrt{9}} \\ & \therefore 15=\frac{k}{3} \\ & \therefore k=15\times 3 \\ & \therefore k=45\end{aligned}

स्थिरांक:

k=45

समीकरण:

x\sqrt{y} = 45

उदाहरण 5:
फळांच्या राशीतील सर्व फळं पेट्यांत भरायची आहेत. प्रत्येक पेटीत 24 फळं ठेवली तर ती भरण्यासाठी 27 पेट्या लागतात. जर प्रत्येक पेटीत 36 फळं ठेवली तर किती पेट्या लागतील?
उत्तर:
इथे एक लक्षात घ्या की एका पेटीत जास्त फळं भरली तर पेट्यांची संख्या कमी होणार आहे आणि म्हणून फळांची संख्या आणि पेट्यांची संख्या व्यस्त प्रमाणात किंवा व्यस्त चलनात आहेत.

इथे $x =$ फळांची संख्या आणि $y =$ पेट्यांची संख्या

$x=24\,\text{and}\;y=27$

$\begin{aligned}\\& \therefore x\;\alpha\;\frac{1}{y} \\ & \therefore x = k\times \frac{1}{y} \end{aligned}$

आधी आपण स्थिरांक k ची किंमत काढूयात,

\begin{aligned} \\ & x\;\alpha\;\frac{1}{y} \\ & \therefore x=\frac{k}{y} \\ & \therefore 24=\frac{k}{27} \\ & \therefore k=24\times 27 \\ & \therefore k=648\end{aligned}

आता एका पेटीत 36 फळं ठेवली तर …

\begin{aligned} \\ & x=36, k=648, y=? \\ & \therefore x=\frac{k}{y} \\ & \therefore 36=\frac{648}{y} \\ & \therefore y=\frac{648}{36} \\ & \therefore y=18\end{aligned}

\therefore y=18

पेट्या लागतील.

उदाहरण 6:
चलनाचे चिन्ह वापरून लिहा.

1. ध्वनीची तरंगलांबी $\left(\ell\right)$ आणि वारंवारता $\left(f\right)$ यामध्ये व्यस्त चलन असते.
उत्तर: $\ell\;\alpha\;\frac{1}{f}$

2. दिव्याच्या प्रकाशाची तीव्रता (I) आणि दिवा व पडदा यांमधील अंतराचा (d) वर्ग यांमध्ये व्यस्त चलन असते.
उत्तर: $I\;\alpha\;\frac{1}{d^2}$

उदाहरण 7:
$x\;\alpha\;\frac{1}{\sqrt{y}}$ आणि $x = 40$ असताना $y = 16$ , तर $x = 10$ तेव्हा $y$ किती?
उत्तर:
$x=40, y=16, k=?$

आपण आधी स्थिरांक k ची किंमत काढून घेऊयात,

\begin{aligned} \\& x\;\alpha\;\frac{1}{\sqrt{y}}\\ & \therefore x=k\times \frac{1}{\sqrt{y}} \\ & \therefore 40=\frac{k}{\sqrt{16}} \\ & \therefore 40=\frac{k}{4} \\ & \therefore k=40\times 4 \\ & \therefore k=160\end{aligned}

x = 10

असेल तर …

\begin{aligned} \\ & x\;\alpha\;\frac{1}{\sqrt{y}} \\ & \therefore x=k\times \frac{1}{\sqrt{y}} \\ & \therefore 10=\frac{160}{\sqrt{y}} \\ & \therefore \sqrt{y}=\frac{160}{10} \\ & \therefore \sqrt{y}=16 \\ & \therefore y=16^2 \\ & \therefore y=256\end{aligned}

उदाहरण 8:
$x$ आणि $y$ या राशींमध्ये व्यस्त चलन आहे. $x = 15$ तेव्हा $y = 10$ असते, $x = 20$ असताना $y =$ किती?
उत्तर:
आपण आधी स्थिरांक k ची किंमत काढून घेऊयात,

\begin{aligned} \\& x=15,y=10,k=? \\ & x\;\alpha\;\frac{1}{y} \\ & \therefore x=\frac{k}{y} \\ & \therefore 15=\frac{k}{10} \\ & \therefore k=15\times 10 \\ & \mathbf{\therefore k=150}\end{aligned}

स्थिरांक

k

ची किंमत 150 आहे.

\begin{aligned} \\ & x=20,y=?,k=150 \\ & x\;\alpha\;\frac{1}{y} \\ & \therefore x=\frac{k}{y} \\ & \therefore 20=\frac{150}{y} \\ & \therefore y=\frac{150}{20} \\ & \therefore y=7.5\end{aligned}

Go to top

काळ, काम आणि वेग

इयत्ता 8 वी चलन म्हणजे काय? हे शिकताना आपण काळ, काम आणि वेग ह्या संदर्भात चलन ह्या संकल्पनेचा उपयोग कसा केला जाऊ शकतो, ते पाहू,

काळ, काम आणि वेगाच्या संदर्भातली उदाहरणं ही व्यस्त प्रमाणातली किंवा व्यस्त चलनातली उदाहरणं असतात.

उदाहरणार्थ: एक काम पूर्ण करायला 10 व्यक्तींना 50 दिवस लागत असतील, तर तेच काम पूर्ण करायला 20 व्यक्तींना 25 दिवसच लागतात. हे अगदी स्वाभाविक आहे; काम करणाऱ्या व्यक्तींची संख्या वाढली की ते काम लवकर, म्हणजेच कमी कालावधीत पूर्ण होते.

म्हणजेच व्यक्तींची संख्या आणि काम पूर्ण होण्याचा कालावधी हे व्यस्त प्रमाणात किंवा व्यस्त चलनात असतात.

समजा $\mathbf{a=}$ काम करणाऱ्या व्यक्तींची संख्या आणि $\mathbf{b=}$ काम पूर्ण करण्यासाठी लागणारा कालावधी.

$\therefore \mathbf{a\;\alpha\;\frac{1}{b}}$

व्यक्तींची संख्या वाढली की काम पूर्ण होण्याचा कालावधी कमी होतो आणि व्यक्तींची संख्या कमी झाली की काम पूर्ण होण्याचा कालावधी वाढत जातो.

उदाहरण 1:
एका शेतातील कापणीचे काम 15 कामगार 8 दिवसात पूर्ण करतात. तेच काम 6 दिवसात पूर्ण करायचे असेल तर किती कामगारांना त्या कामावर रुजू करावे लागेल?
उत्तर:
कामगारांची संख्या आणि काम पूर्ण होण्यासाठी लागणारे दिवस, ही दोन्ही परिमाणं व्यस्त प्रमाणात आहेत.
$\mathbf{x=}$ कामगारांची संख्या आणि $\mathbf{y=}$ काम पूर्ण करण्यासाठी लागणारे दिवस
$\mathbf{x\;\alpha\;\frac{1}{y}}$
कामगारांची संख्या $x=15$ , दिवस $y=8$ , स्थिरांक $k=?$ .
$\begin{aligned} \\ & x\;\alpha\;\frac{1}{y} \\ & \therefore x=\frac{k}{y} \\ & \therefore 15=\frac{k}{8} \\ & \therefore k=15\times 8 \\ & \therefore k=120\end{aligned}$

जर हेच काम 6 दिवसात पूर्ण करायचे असेल तर …
$\begin{aligned} \\ & x\;\alpha\;\frac{1}{y} \\ & \therefore x=\frac{k}{y} \\ & \therefore x=\frac{120}{6} \\ & \therefore x=20\end{aligned}$
म्हणजेच तेच काम 6 दिवसात पूर्ण करायला 20 कामगारांना त्या कामावर रुजू करावे लागेल.

उदाहरण 2:
एका वाहनाचा सरासरी वेग ताशी 48 कि.मी. असताना काही अंतर जाण्यासाठी 6 तास लागतात, तर वेग ताशी 72 कि.मी. असताना तेवढेच अंतर जाण्यासाठी किती वेळ लागेल?
उत्तर:
वाहनाचा वेग $\left(x\right)$ जास्त असेल तर एक ठराविक अंतर कापायला कमी वेळ $\left(y\right)$ लागतो आणि जर वेग $\left(x\right)$ कमी असेल तर तेवढेच अंतर कापायला जास्त वेळ $\left(y\right)$ लागतो, हे आपल्याला माहित आहे. म्हणजेच वाहनाचा वेग $\left(x\right)$ आणि प्रवासाचा वेळ $\left(y\right)$ हे व्यस्तप्रमाणात किंवा व्यस्त चलनात असतात.
$\begin{aligned} \\& x\;\alpha\;y \\ & \therefore x=\frac{k}{y}\end{aligned}$
ह्या उदाहरणात वेग $x=48$ किमी प्रति तास आहे आणि प्रवासाचा वेळ $y=6$ तास आहे.
आपण आधी ह्या समीकरणातल्या $k$ ह्या स्थिरांकाची किंमत काढून घेऊयात,
$\begin{aligned} \\& \therefore 48=\frac{k}{6} \\ & \therefore k=48\times 6 \\ &\therefore k=288\end{aligned}$

जर वाहनाचा वेग $\left(x\right)$ 72 कि.मी. प्रति तास वाढवला तर तेच अंतर कापायला किती वेळ $\left(y\right)$ लगेल, ते आपण आता काढू,
$\begin{aligned} \\ & \therefore x=\frac{k}{y} \\ & \therefore 72=\frac{288}{y} \\ & \therefore y=\frac{288}{72} \\ & \therefore y=4\end{aligned}$
म्हणजे 4 तास लागतील.

उदाहरण 3:
खालीलपैकी कोणती उदाहरणे व्यस्त चलनाची आहेत?
i). मजुरांची संख्या व त्यांना काम पूर्ण करण्यासाठी लागणारा वेळ – व्यस्त चलन
कारण: मजूरांची संख्या वाढवली की एखादं काम पूर्ण करण्यासाठी कमी वेळ लगतो आणि मजूरांची संख्या कमी केली की तेच काम पूर्ण करायला जास्त वेळ लागतो.

ii). हौद भरण्यासाठी असलेल्या एकसारख्या नळांची संख्या व हौद भरण्यासाठी लागणारा वेळ – व्यस्त चलन
कारण: नळांची संख्या वाढवली की हौद भरायला कमी वेळ लागतो आणि नळांची संख्या कमी केली की हौद भरायला जास्त वेळ लागतो.

iii). वाहनात भरलेले पेट्रोल व त्याची किंमत – समचलन
कारण: वाहनाची किंमत = (वाहनाची मूळ किंमत + त्यात भरलेल्या पेट्रोलची किंमत). म्हणून वाहनात पेट्रोल भरले की वाहनाची किंमत वाढते आणि पेट्रोल भरले नाही तर वाहनाची किंमत कमी होते.

iv). वर्तुळाचे क्षेत्रफळ व त्या वर्तुळाची त्रिज्या – समचलन
कारण: वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाचं सूत्र आहे $A=\pi\times\ r^2$ . इथे $\mathbf{r}$ म्हणजे वर्तुळाची त्रिज्या आहे. त्यामुळे त्रिज्या वाढली की वर्तुळाचं क्षेत्रफळ वाढतं आणि त्रिज्या कमी झाली की क्षेत्रफळ कमी होतं.

उदाहरण 4:
जर 15 मजुरांना एक भिंत बांधण्यास 48 तास लागतात, तर 30 तासांत ते काम पूर्ण करण्यासाठी किती मजूर लागतील?
उत्तर:
मजुरांची संख्या वाढवली की काम पूर्ण होण्याचा कालावधी कमी होतो आणि मजुरांची संख्या कमी केली की काम पूर्ण होण्याचा कालावधी वाढतो. त्यामुळे मजुरांची संख्या आणि काम पूर्ण होण्याचा कालावधी हे व्यस्त प्रमाणात किंवा व्यस्त चलनात आहेत.
इथे मजुरांची संख्या $x=15$ आणि काम पूर्ण करण्यासाठी लागणारा कालावधी $y=48$ आहे.
$\begin{aligned} \\ & x\;\alpha\;\frac{1}{y} \\ & \therefore x=\frac{k}{y} \\ & \therefore 15=\frac{k}{48} \\ & \therefore k=15\times 48 \\ & \therefore k=720\end{aligned}$

मग आता 30 तासांत ते काम पूर्ण करण्यासाठी किती मजूर लागतील; ते काढू,
$\begin{aligned} \\ & x=?,y=30,k=720 \\ & x\;\alpha\;\frac{1}{y} \\ & \therefore x=\frac{k}{y} \\ & \therefore x=\frac{720}{30} \\ & \therefore x=30\end{aligned}$
म्हणजेच 30 तासांत ते काम पूर्ण करण्यासाठी 24 मजूर लागतील.

उदाहरण 5:
पीशवीत दूध भरण्याच्या यंत्राद्वारे 3 मिनिटांत अर्ध्या लीटरच्या 120 पिशव्या भरल्या जातात, तर 1800 पिशव्या भरण्यासाठी किती वेळ लागेल?
उत्तर:
प्रश्न नीट वाचा. इथे एक लक्षात घ्या की पिशव्या भरणारं यंत्र तेच आहे. त्याच्या पिशव्या भरण्याच्या वेगात कुठलाही बदल होत नाहीये. त्यामुळे 120 पिशव्या भरायला जर 3 मिनिटं लागत असतील तर 1800 पिशव्या भरायला नक्कीच जास्त वेळ लागणार आहे. म्हणजेच पिशव्यांची संख्या वाढली की पिशव्या भरायला लागणारा वेळही वाढणार आहे.
म्हणजे पिशव्यांची संख्या आणि पिशव्या भरायला लागणारा कालावधी समप्रमाणात किंवा समचलनात आहेत.

इथे $x=$ पिशव्यांची संख्या आणि $y=$ पिशव्या भरायला लागणारा कालावधी.
$\begin{aligned}\\& \therefore x\;\alpha\;y \\ & \therefore x=ky\end{aligned}$
पिशव्यांची संख्या $x=120$ आणि पिशव्या भरण्यासाठी लागणार कालावधी $y=3$ , तर आपण आधी स्थिरांक ची किंमत काढू,
$\begin{aligned} \\ & x=ky \\ & \therefore k=\frac{x}{y} \\ & \therefore k=\frac{120}{3} \\ & \therefore k=40\end{aligned}$

मग आता $1800$ पिशव्या भरण्यासाठी किती वेळ लागेल, ते काढूयात,
पिशव्यांची संख्या $x=1800$ , पिशव्या भरण्यासाठी लागणार कालावधी $y=?$ , स्थिरांक $k=40$ .
$\begin{aligned} \\ & x\;\alpha\;y \\ & \therefore x=ky \\ & \therefore 1800=40\times y \\ & \therefore y=\frac{1800}{40} \\ & \therefore y=45\end{aligned}$
म्हणजेच 1800 पिशव्या भरण्यासाठी 45 मिनिटं वेळ लागेल.

उदाहरण 6:
एका गाडीचा सरासरी वेग 60 कि.मी./तास असताना काही अंतर जाण्यास 8 तास लागतात, जर तेच अंतर साडेसात तासांत कापावयाचे असेल तर त्याच गाडीचा सरासरी वेग किती वाढवावा लागेल?
उत्तर:
इथे लक्षात घ्या की गाडीचा वेग वाढवला की प्रवासाचा कालावधी कमी होतो आणि गाडीचा वेग कमी केला की प्रवासाचा कालावधी वाढतो. म्हणजेच गाडीचा वेग आणि प्रवासाचा कालावधी हे व्यस्त प्रमाणात किंवा व्यस्त चलनात आहेत.
इथे $x=$ गाडीचा वेग आणि $y=$ प्रवासाचा कालावधी.
$\begin{aligned} \\ & x\;\alpha\;y \\ & \therefore x=\frac{k}{y}\end{aligned}$
गाडीचा वेग $x=60$ , प्रवासाचा कालावधी $y=8$ , तर आपण आधी स्थिरांक $k$ ची किंमत काढू,

$\begin{aligned} \\ & x\;\alpha\;y \\ & \therefore x=\frac{k}{y} \\ & \therefore k=x\times y \\ & \therefore k=60\times 8 \\ & \therefore k=480\end{aligned}$

आता हेच अंतर साडेसात (7.5) तासात कापायचे असेल तर गाडीचा वेग किती वाढवावा लागेल, ते काढूयात,
गाडीचा वेग $x=?$ , प्रवासाचा कालावधी $y=7.5, k=480$
$\begin{aligned} \\ & x\;\alpha\;y \\ & \therefore x=\frac{k}{y} \\ & \therefore x=\frac{480}{7.5} \\ & \therefore x=64\end{aligned}$
तेच अंतर साडेसात (7.5) तासात कापायचे असेल तर गाडीचा वेग 64 कि.मी./तास इतका ठेवावा लागेल. म्हणजेच आधी पेक्षा $(64 - 60) = 4$ किमी/तास ने वेग वाढवावा लागेल.

Go to top

इयत्ता 8 वीचे पाठयपुस्तक: इथे क्लिक करा