इयत्ता 8 वी बैजिक राशींचे अवयव कसे पाडतात? : बैजिक राशींचे अवयव हे गणितातील समीकरणांमध्ये वापरले जाणारे मूलभूत घटक असतात, जे संख्यात्मक किंवा चल रूपात असतात. हे अवयव बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार आणि घातांकीय स्वरूपात एकमेकांशी संबंधित असतात. गणितात बैजिक राशींचे अवयव समीकरणे सोडवण्यासाठी आणि विविध संकल्पना स्पष्ट करण्यासाठी महत्त्वाची भूमिका बजावतात.
बैजिक राशींचे अवयव म्हणजे काय?
अवयव सूत्र 1:
a\left(x+y\right)
उत्तर:
\begin{aligned} \\ \therefore a\left(x+y\right)&=\left(ax+ay\right)\end{aligned}
\mathbf{\therefore a\left(x+y\right)} हे \mathbf{\left(ax+ay\right)} चे अवयव आहेत.
अवयव सूत्र 2:
\left(a+b\right)\left(a-b\right)
उत्तर:
\begin{aligned} \\ \therefore \left(a+b\right)\left(a-b\right)&=a\left(a-b\right)+b\left(a-b\right) \\ &=a^2-ab+ab-b^2 \\ &=a^2-b^2\end{aligned}
\mathbf{\therefore \left(a+b\right)\left(a-b\right)} हे \mathbf{\left(a^2-b^2\right)} चे अवयव आहेत.
अवयव सूत्र 3:
\left(x+a\right)\left(x+b\right)
उत्तर:
\begin{aligned} \\ \therefore \left(x+a\right)\left(x+b\right)&=x\left(x+b\right)+a\left(x+b\right) \\ &=x^2+bx+ax+ab \\ &=x^2+x\left(a+b\right)+ab\end{aligned}
\mathbf{\therefore \left(x+a\right)\left(x+b\right)} हे \mathbf{\left(x^2+x\left(a+b\right)+ab\right)} चे अवयव आहेत.
तर आपल्याला \left(ax+ay\right),\left(a^2-b^2\right) आणि \left(x^2+x\left(a+b\right)+ab\right) ह्यांचे अवयव कसे काढायचे ते आधीच माहित आहे.
“वर्गत्रिपदी” स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव
| \mathbf{ax^2+bx+c} ह्या प्रकारच्या बैजिक राशीला “वर्गत्रिपदी” म्हणतात. |
तर आधी आपण “वर्गत्रिपदी”ची काही उदाहरणं बघुयात,
- x^2+5x+6 . . . इथे a=1,b=5,c=6
- 2x^2-9x+9 . . . इथे a=2,b=9,c=9
आता आपण ax^2+bx+c ह्या वर्गत्रिपदीचे अवयव कसे काढतात, ते बघूया,
वरील अवयव सूत्र 3 ची तुलना आपण ह्या वर्गत्रिपदीशी करू,
| अवयव सूत्र 3 | वर्गत्रिपदी |
| \left(x^2+x\left(a+b\right)+ab\right) | ax^2+bx+c |
म्हणजे . . .
ax^2=x^2,bx=x\left(a+b\right) आणि c=ab
आता आपण वरील अवयव सूत्र 3 वापरून काही वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव पाडून बघुयात म्हणजे ही संकल्पना किती सोपी हे तुमच्या लक्षात येईल,
उदाहरण 1:
x^2+5x+6
उत्तर:
x^2+5x+6 आता ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना अवयव सूत्र 3 बरोबर करूयात,
x^2=x^2,x\left(a+b\right)=5x,ab=6
आता लक्ष देऊन बघा की ही वर्गत्रिपदी कशी आहे ते. इथे a+b=5 आहे आणि a\times b=6 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज 5 आहे आणि त्यांचा गुणाकार 6 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 6 चे अवयव पाडूयात,
\therefore 6=3\times 2
आणि ह्या 6 च्या अवयवांची बेरीज किती येते; तर \left(3+2\right)=5. मग आता आपण ही वर्गत्रिपदी पुढील प्रमाणे लिहू शकतो,
\begin{aligned} \\ \therefore x^2+5x+6&=x^2+x\left(3+2\right)+\left(3\times 2\right) \\ &=x^2+3x+2x+2\left(3\right) \\ &=x\left(x+3\right)+2\left(x+3\right) \\ &=\left(x+3\right)\left(x+2\right)\end{aligned}
\therefore \left(x+3\right)\left(x+2\right) हे x^2+5x+6 वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 2:
2x^2-9x+9
उत्तर:
2x^2-9x+9 आता ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना अवयव सूत्र 3 बरोबर करूयात,
x^2=2x^2,x\left(a+b\right)=-9x,ab=9
इथे a+b=-9 आहे आणि a\times b=9 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज -9 आहे आणि त्यांचा गुणाकार 9 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 9 चे अवयव पाडूयात, चे अवयव पाडूयात,
\therefore 9=3\times 3
पण 3 + 3 = 6 होतात, 9 नाही.
मग आता \left(a+b\right)=-9 काढायला आपल्याला पुढील पद्धत वापरावी लागते, ती लक्षपूर्वक बघा.
1) आपली वर्गत्रिपदी 2x^2-9x+9 आहे. ह्यातल्या 2x मधल्या 2 ने शेवटच्या +9 ला गुणायचं.
\therefore \left(2\times 9\right)=18
2) आता आपण 18 चे अवयव पाडूयात,
18=2\times 3\times 3=6\times 3 आणि -9=-6-3
\begin{aligned} \\ \therefore 2x^2-9x+9&=2x^2-6x-3x+9 \\ &=2x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right) \\ &=\left(2x-3\right)\left(x-3\right)\end{aligned}
\therefore \left(2x-3\right)\left(x-3\right) हे 2x^2-9x+9 वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 3:
2x^2+5x-18
उत्तर:
2x^2+5x-18 आता ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना अवयव सूत्र 3 बरोबर करूयात,
x^2=2x^2,x\left(a+b\right)=5x,ab=-18
इथे a+b=5 आहे आणि a\times b=-18 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज 5 आहे आणि त्यांचा गुणाकार 18 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 18 चे अवयव पाडूयात,
\therefore 18=3\times 3\times 3
पण 3 + 3 + 3 = 9 होतात, 5 नाही.
मग आता \left(a+b\right)=5 काढायला आपल्याला पुढील पद्धत वापरावी लागते, ती लक्षपूर्वक बघा.
1) आपली वर्गत्रिपदी 2x^2+5x-18 आहे. ह्यातल्या 2x^2 मधल्या 2 ने शेवटच्या 18 ला गुणायचं.
\therefore \left(2\times 18\right)=36
2) आता आपण 36 चे अवयव पाडूयात,
36=2\times 2\times 3\times 3=4\times 9 आणि 5=9-4
\begin{aligned} \therefore 2x^2+5x-18&=2x^2+9x-4x+18 \\ &=x\left(2x+9\right)-2\left(2x+9\right) \\ &=\left(2x+9\right)\left(x-2\right)\end{aligned}
\therefore \left(2x+9\right)\left(x-2\right) हे 2x^2+5x-18 वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 4:
x^2-10x+21
उत्तर:
x^2-10x+21 आता ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना अवयव सूत्र 3 बरोबर करूयात,
x^2=x^2,x\left(a+b\right)=-10x,ab=21
इथे a+b=-10 आहे आणि a\times b=21 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज -10 आहे आणि त्यांचा गुणाकार 21 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 21 चे अवयव पाडूयात,
\begin{array} { | c | c | } \hline 3 & 21 \\ \hline 7 & 7 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
21=3\times 7 आणि -10=-3-7
\therefore \left(x-3\right)\left(x-7\right) हे x^2-105x+21 वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 5:
2y^2-4y-30
उत्तर:
2y^2-4y-30 आता ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना अवयव सूत्र 3 बरोबर करूयात,
x^2=2y^2,x\left(a+b\right)=-4y,ab=-30
इथे a+b=-4 आहे आणि a\times b=-30 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज -4 आहे आणि त्यांचा गुणाकार -30 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 30 चे अवयव पाडूयात,
\therefore 30=2\times 3\times 5
पण 2 + 3 + 5 = 10 होतात, -4 नाही.
मग आता \left(a+b\right)=-4 काढायला आपल्याला पुढील पद्धत वापरावी लागते, ती लक्षपूर्वक बघा.
1) आपली वर्गत्रिपदी आहे. ह्यातल्या 2y^2 मधल्या 2 ने शेवटच्या 30 ला गुणायचं.
\therefore \left(2\times 30\right)=60
2) आता आपण 60 चे अवयव पाडूयात,
\therefore 60=2\times 2\times 3\times 5=10\times 6 आणि -4=-10+6
\begin{aligned} \\ \therefore 2y^2-4y-30&=2y^2-10y+6y-30 \\ &=2y\left(y-5\right)+6\left(y-5\right) \\ &=\left(2y+6\right)\left(y-5\right) \\ &=2\left(y+3\right)\left(y-5\right)\end{aligned}
\therefore 2\left(y+3\right)\left(y-5\right) हे 2y^2-4y-30 वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 6:
x^2+9x+18
उत्तर:
x^2+9x+18 आता ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना अवयव सूत्र 3 बरोबर करूयात,
x^2=x^2,x\left(a+b\right)=9x,ab=18
इथे a+b=9 आहे आणि a\times b=18 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज 9 आहे आणि त्यांचा गुणाकार 18 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 18 चे अवयव पाडूयात,
\begin{array} { | c | c | } \hline 3 & 18 \\ \hline 3 & 6 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
\therefore 18=2\times 3\times 3=6\times 3 आणि 9=6+3.
\begin{aligned} \\ \therefore x^2+9x+18&=x^2+6x+3x+18 \\ &=x\left(x+6\right)+3\left(x+6\right) \\ &=\left(x+3\right)\left(x+6\right)\end{aligned}
\therefore \left(x+3\right)\left(x+6\right) हे x^2+9x+18 वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 7:
x^2-10x+9
उत्तर:
x^2-10x+9 आता ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना अवयव सूत्र 3 बरोबर करूयात,
x^2=x^2,x\left(a+b\right)=-10x,ab=9
इथे a+b=-10 आहे आणि a\times b=9 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज -10 आहे आणि त्यांचा गुणाकार 9 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 9 चे अवयव पाडूयात,
\begin{array} { | c | c | } \hline 3 & 9 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
\therefore 9=3\times 3=9\times 1 आणि -10=-9-1.
\begin{aligned} \\ \therefore x^2-10x+9&=x^2-9x-x+9 \\ &=x\left(x-9\right)-1\left(x-9\right) \\ &=\left(x-9\right)\left(x-1\right)\end{aligned}
\therefore \left(x-9\right)\left(x-1\right) हे x^2-10x+9 वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 8:
y^2+24y+144
उत्तर:
y^2+24y+144 आता ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना अवयव सूत्र 3 बरोबर करूयात,
x^2=y^2,x\left(a+b\right)=24y,ab=144
इथे a+b=24y आहे आणि a\times b=144 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज 24 आहे आणि त्यांचा गुणाकार 144 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 144 चे अवयव पाडूयात,
\begin{array} { | c | c | } \hline 2 & 144 \\ \hline 2 & 72 \\ \hline 2 & 36 \\ \hline 2 & 18 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
\therefore 144=2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3=12\times 12 आणि 24=12+12.
\begin{aligned} \\ \therefore y^2+24y+144&=y^2+12y+12y+144 \\ &=y\left(y+12\right)+12\left(y+12\right) \\ &=\left(y+12\right)\left(y+12\right)\end{aligned}
\therefore \left(y+12\right)\left(y+12\right) हे y^2+24y+144 वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 9:
5y^2+5y-10
उत्तर:
5y^2+5y-10 आता ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना अवयव सूत्र 3 बरोबर करूयात,
x^2=5y^2,x\left(a+b\right)=5y,ab=-10
इथे a+b=5y आहे आणि a\times b=-10 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज 5 आहे आणि त्यांचा गुणाकार – 10 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 10 चे अवयव पाडूयात,
\therefore 10=2\times 5
पण 2 + 5 = 7 होतात, 5 नाही.
मग आता \left(a+b\right)=5 काढायला आपल्याला पुढील पद्धत वापरावी लागते, ती लक्षपूर्वक बघा.
1) आपली वर्गत्रिपदी 5y^2+5y-10 आहे. ह्यातल्या 5y^2 मधल्या 5 ने शेवटच्या 10 ला गुणायचं.
\therefore \left(5\times 10\right)=50
2) आता आपण 50 चे अवयव पाडूयात,
50=2\times 5\times 5=10\times 5 आणि 5=10-5.
\begin{aligned} \\ \therefore 5y^2+5y-10&=5y^2+10y-5y-10 \\ &=5y\left(y+5\right)-5\left(y+5\right) \\ &=\left(y+5\right)\left(5y-5\right)\end{aligned}
\therefore \left(y+5\right)\left(5y-5\right) हे 5y^2+5y-10 वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 10:
p^2-2p-35
उत्तर:
p^2-2p-35 आता ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना अवयव सूत्र 3 बरोबर करूयात,
x^2=p^2,x\left(a+b\right)=-2p,ab=-35
इथे a+b=-2p आहे आणि a\times b=-35 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज -2 आहे आणि त्यांचा गुणाकार -35 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 35 चे अवयव पाडूयात,
\begin{array} { | c | c | } \hline 7 & 35 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
\therefore 35=7\times 5 आणि -2=-7+5.
\begin{aligned} \\ \therefore p^2-2p-35&=p^2-2p-35 \\ &=p^2-7p+5p-35 \\ &=p\left(p-7\right)+5\left(p-7\right) \\ &=\left(p-7\right)\left(p+5\right)\end{aligned}
\therefore \left(p-7\right)\left(p+5\right) हे p^2-2p-35 वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 11:
p^2-7p-44
उत्तर:
p^2-7p-44 आता ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना अवयव सूत्र 3 बरोबर करूयात,
x^2=p^2,x\left(a+b\right)=-7p,ab=-44
इथे a+b=-7p आहे आणि a\times b=-44 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज -7 आहे आणि त्यांचा गुणाकार -44 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 44 चे अवयव पाडूयात,
\begin{array} { | c | c | } \hline 2 & 44 \\ \hline 2 & 22 \\ \hline 11 & 11 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
\therefore 44=2\times 2\times 11=4\times 11 आणि -7=-11+4.
\begin{aligned} \\ \therefore p^2-7p-44&=p^2-11p+4p-44 \\ &=p\left(p-11\right)+4\left(p-11\right) \\ &=\left(p-11\right)\left(p+4\right) \end{aligned}
\therefore \left(p-11\right)\left(p+4\right) हे p^2-7p-44 वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 12:
m^2-23m+120
उत्तर:
m^2-23m+120 आता ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना अवयव सूत्र 3 बरोबर करूयात,
x^2=m^2,x\left(a+b\right)=-23m,ab=120
इथे a+b=-23m आहे आणि a\times b=120 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज -23 आहे आणि त्यांचा गुणाकार 120 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 120 चे अवयव पाडूयात,
\begin{array} { | c | c | } \hline 2 & 120 \\ \hline 2 & 60 \\ \hline 2 & 30 \\ \hline 3 & 15 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline 1 \\ \hline\end{array}
120=2\times 2\times 2\times 3\times 5=15\times 8 आणि -23=-15-8.
\begin{aligned} \\ \therefore m^2-23m+120&=m^2-15m-8m+120 \\ &=m\left(m-15\right)-8\left(m-15\right) \\ &=\left(m-15\right)\left(m-8\right)\end{aligned}
\therefore \left(m-15\right)\left(m-8\right) हे m^2-23m+120 वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 13:
m^2-25m+100
उत्तर:
m^2-25m+100 आता ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना अवयव सूत्र 3 बरोबर करूयात,
x^2=m^2,x\left(a+b\right)=-25m,ab=100
इथे a+b=-25m आहे आणि a\times b=100 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज -25 आहे आणि त्यांचा गुणाकार 100 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 100 चे अवयव पाडूयात,
\begin{array} { | c | c | } \hline 2 & 100 \\ \hline 2 & 50 \\ \hline 5 & 25 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
\therefore 100=2\times 2\times 5\times 5=20\times 5 आणि -25=-20-5.
\begin{aligned} \\ m^2-25m+100&=m^2-20m-5m+100 \\ &=m\left(m-20\right)-5\left(m-20\right) \\ &=\left(m-20\right)\left(m-5\right)\end{aligned}
\therefore \left(m-20\right)\left(m-5\right) हे m^2-25m+100 वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 14:
3x^2+14x+15
उत्तर:
3x^2+14x+15 आता ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना अवयव सूत्र 3 बरोबर करूयात,
x^2=3x^2,x\left(a+b\right)=14x,ab=15
इथे a+b=14 आहे आणि a\times b=15 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज 14 आहे आणि त्यांचा गुणाकार 15 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 15 चे अवयव पाडूयात,
\begin{array} { | c | c | } \hline 3 & 15 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
\therefore 15=3\times 5, पण 3 + 5 = 8 होतात, 14 नाही.
मग आता \left(a+b\right)=14 काढायला आपल्याला पुढील पद्धत वापरावी लागते, ती लक्षपूर्वक बघा.
1) आपली वर्गत्रिपदी 3x^2+14x+15 आहे. ह्यातल्या 3x^2 मधल्या 3 ने शेवटच्या 45 ला गुणायचं.
\therefore \left(15\times 3\right)=45
2) आता आपण 45 चे अवयव पाडूयात,
\begin{array} { | c | c | } \hline 3 & 45 \\ \hline 3 & 15 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
45=3\times 3\times 5=9\times 5 आणि 14=9+5
\begin{aligned} \\ 3x^2+14x+15&=3x^2+9x+5x+15 \\ &=3x\left(x+3\right)+5\left(x+3\right) \\ &=\left(3x+5\right)\left(x+3\right)\end{aligned}
\therefore \left(3x+5\right)\left(x+3\right) हे 3x^2+14x+15 वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 15:
2x^2+x-45
उत्तर:
2x^2+x-45 आता ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना अवयव सूत्र 3 बरोबर करूयात,
x^2=2x^2,x\left(a+b\right)=x,ab=-45
इथे a+b=1 आहे आणि a\times b=-45 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज 1 आहे आणि त्यांचा गुणाकार -45 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 45 चे अवयव पाडूयात,
\therefore 45=3\times 3\times 5 पण 3 + 3 + 5 = 11 होतात, 1 नाही.
मग आता \left(a+b\right)=1 काढायला आपल्याला पुढील पद्धत वापरावी लागते, ती लक्षपूर्वक बघा.
1) आपली वर्गत्रिपदी 2x^2+x-45 आहे. ह्यातल्या 2x^2 मधल्या 2 ने शेवटच्या 45 ला गुणायचं.
\therefore \left(45\times 2\right)=90
2) आता आपण 90 चे अवयव पाडूयात,
90=2\times 3\times 3\times 5=10\times 9 आणि 1=10-9
\begin{aligned} \\ \therefore 2x^2+x-45&=2x^2+10x-9x-45 \\ &=2x\left(x+5\right)-9\left(x+5\right) \\ &=\left(2x-9\right)\left(x+5\right)\end{aligned}
\therefore \left(2x-9\right)\left(x+5\right) हे 2x^2+x-45 वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 16:
20x^2-26x+8
उत्तर:
20x^2-26x+8 आता ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना अवयव सूत्र 3 बरोबर करूयात,
x^2=20x^2,x\left(a+b\right)=-26x,ab=8
इथे a+b=-26 आहे आणि a\times b=8 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज -26 आहे आणि त्यांचा गुणाकार 8 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 8 चे अवयव पाडूयात,
\begin{array} { | c | c | } \hline 2 & 8 \\ \hline 2 & 4 \\ \hline 2 & 2 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
\therefore 8=2\times 2\times 2, पण 2 + 2 + 2 = 6 होतात, -26 नाही.
मग आता \left(a+b\right)=-26 काढायला आपल्याला पुढील पद्धत वापरावी लागते, ती लक्षपूर्वक बघा.
1) आपली वर्गत्रिपदी \left(a+b\right)=-26 आहे. ह्यातल्या 20x^2 मधल्या 20 ने शेवटच्या 8 ला गुणायचं.
\therefore \left(8\times 20\right)=160
2) आता आपण 160 चे अवयव पाडूयात,
90=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 5=16\times 10 आणि -26=-16-10
\begin{aligned} \\ \therefore 20x^2-26x+8&=20x^2-16x-10x+8 \\ &=2\left(10x^2-8x-5x+4\right) \\ &=2\left[2x\left(5x-4\right)-1\left(5x-4\right)\right] \\ &=2\left(2x-1\right)\left(5x-4\right)\end{aligned}
\therefore \left(2x-1\right)\left(5x-4\right) हे 20x^2-26x+8 वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 17:
44x^2-x-3
उत्तर:
44x^2-x-3 आता ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना अवयव सूत्र 3 बरोबर करूयात,
x^2=44x^2,x\left(a+b\right)=-x,ab=-3
इथे a+b=-1 आहे आणि a\times b=-3 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज – 1 आहे आणि त्यांचा गुणाकार -3 आहे. आता हे कसं शोधणार; तर त्यासाठी आपण 3 चे अवयव पाडूयात,
\therefore3=3, पण 3 = 3 होतात, – 1 नाही.
मग आता \left(a+b\right)=-1 काढायला आपल्याला पुढील पद्धत वापरावी लागते, ती लक्षपूर्वक बघा.
1) आपली वर्गत्रिपदी 44x^2-x-3 आहे. ह्यातल्या 44x^2 मधल्या 44 ने शेवटच्या 3 ला गुणायचं.
\therefore \left(3\times 44\right)=132
2) आता आपण 132 चे अवयव पाडूयात,
\therefore 132=2\times 2\times 3\times 11=12\times 11 आणि -1=-12+11
\begin{aligned} \\ \therefore 44x^2-x-3&=44x^2-12x+11x-3 \\ &=44x^2-12x+11x-3 \\ &=4x\left(11x-3\right)+1\left(11x-3\right) \\ &=\left(4x+1\right)\left(11x-3\right)\end{aligned}
\therefore \left(4x+1\right)\left(11x-3\right) हे 44x^2-x-3 वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
दोन घनांच्या बेरजेचे अवयव
\mathbf{\left(a+b\right)^3} चे अवयव कसे काढायचे ते आता पाहुयात,
\begin{aligned} \\ \left(a+b\right)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\ &=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\end{aligned}बाजूंची अदलाबदल करून,
\begin{aligned} \\ \therefore a^3+b^3&=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right) \\ &=\left(a+b\right)\left(a+b\right)^2-3ab\left(a+b\right) \\ &=\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-3ab\right] \\ &=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+2ab-3ab\right) \\ &=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\end{aligned}
| \mathbf{a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)} |
हे सूत्र एकदम पक्क लक्षात ठेवलं की अशा प्रकारच्या दोन घनांच्या बेरजेचे अवयव पाडणे किती सोपं आहे, हे तुमच्या लक्षात येईल. चला तर मग आपण ह्या सूत्राचा उपयोग करून काही उदाहरणं सोडवूयात,
उदाहरण 1:
x^3+27y^3
उत्तर:
x^3+27y^3
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनमुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=x^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{x^3}
\therefore a=x
b^3=27y^3
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{27y^3}
\therefore b=3y
a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore x^3+27y^3&=\left(x+3y\right)\left(x^2-\left(x\times 3y\right)+9y^2\right) \\ &=\left(x+3y\right)\left(x^2-3xy+9y^2\right)\end{aligned}
\therefore \left(x+3y\right)\left(x^2-3xy+9y^2\right) हे x^3+27y^3 ह्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 2:
8p^3+125q^3
उत्तर:
8p^3+125q^3
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=8p^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{8p^3}
\therefore a=2p
b^3=125q^3
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{125q^3}
\therefore b=5q
a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)सूत्र वापरून,
\begin{aligned}8p^3+125q^3&=\left(2p+5q\right)\left(4p^2-\left(2p\times 5q\right)+25q^2\right) \\ &=\left(2p+5q\right)\left(4p^2-10pq+25q^2\right)\end{aligned}
\therefore \left(2p+5q\right)\left(4p^2-10pq+25q^2\right) हे 8p^3+125q^3 ह्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 3:
m^3+\frac{1}{64m^3}
उत्तर:
m^3+\frac{1}{64m^3}
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=m^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{m^3}
\therefore a=m
b^3=\frac{1}{64m^3}
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{\frac{1}{64m^3}}
\therefore b=\frac{1}{4m}
a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore m^3+\frac{1}{64m^3}&=\left(m+\frac{1}{4m}\right)\left(m^2-\left(m\times \frac{1}{4m}\right)+\frac{1}{16m^2}\right) \\ &=\left(m+\frac{1}{4m}\right)\left(m^2-\frac{1}{4}+\frac{1}{16m^2}\right)\end{aligned}
\therefore \left(m+\frac{1}{4m}\right)\left(m^2-\frac{1}{4}+\frac{1}{16m^2}\right) हे m^3+\frac{1}{64m^3} ह्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 4:
250p^3+432q^3
उत्तर:
250p^3+432q^3
ही बैजिक राशी आपण आधी सोपी करून घेऊयात आणि त्यासाठी 2 हा सामाईक (कॉमन) गुणक वेगळा करूयात,
2\times \left(125p^3+216q^3\right)
मग आता आधी कंस सोडवून घेऊयात. इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=125q^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{125q^3}
\therefore a=5q
b^3=216q^3
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{216q^3}
\therefore b=6q
a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)सूत्र वापरून,
\begin{aligned} \\ \therefore 2\times \left(125p^3+216q^3\right)&=2\left(5p+6q\right)\left(25p^2-\left(5p\times 6q\right)+36q^2\right) \\ &=2\left(5p+6q\right)\left(25p^2-30pq+36q^2\right)\end{aligned}
\therefore 2\times \left(5p+6q\right)\left(25p^2-30pq+36q^2\right) हे 250p^3+432q^3 ह्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 5:
x^3+64y^3
उत्तर:
x^3+64y^3
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=x^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{x^3}
\therefore a=x
b^3=64y^3
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{64y^3}
\therefore b=4y
a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore x^3+64y^3&=\left(x+4y\right)\left(x^2-\left(x\times 4y\right)+16y^2\right) \\ =\left(x+4y\right)\left(x^2-4xy+16y^2\right)\end{aligned}
\therefore \left(x+4y\right)\left(x^2-4xy+16y^2\right) हे x^3+64y^3 ह्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 6:
125p^3+q^3
उत्तर:
125p^3+q^3
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=125p^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{125p^3}
\therefore a=5p
b^3=q^3
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{q^3}
\therefore b=q
a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore 125p^3+q^3&=\left(5p+q\right)\left(25p^2-\left(5p\times q\right)+q^2\right) \\ &=\left(5p+q\right)\left(25p^2-5pq+q^2\right)\end{aligned}
\therefore \left(5p+q\right)\left(25p^2-5pq+q^2\right) हे 125p^3+q^3 ह्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 7:
125k^3+27m^3
उत्तर:
125k^3+27m^3
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=125k^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{125k^3}
\therefore a=5k
b^3=27m^3
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{27m^3}
\therefore b=3m
a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore 125k^3+27m^3&=\left(5k+3m\right)\left(25k^2-\left(5k\times3m\right)+9m^2\right) \\ &=\left(5k+3m\right)\left(25k^2-15km+9m^2\right)\end{aligned}
\therefore \left(5k+3m\right)\left(25k^2-15km+9m^2\right) हे 125k^3+27m^3 ह्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 8:
2l^3+432m^3
उत्तर:
2l^3+432m^3
ही बैजिक राशी आपण आधी सोपी करून घेऊयात आणि त्यासाठी 2 हा सामाईक (कॉमन) गुणक वेगळा करूयात,
2\times \left(l^3+216m^3\right)
मग आता आधी कंस सोडवून घेऊयात. इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=l^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{l^3}
\therefore a=l
b^3=216m^3
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{216m^3}
\therefore b=6m
a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore 2\times \left(l^3+216m^3\right)&=2\times \left(l+6m\right)\left(l^2-\left(l\times6m\right)+36m^2\right) \\ &=2\times \left(l+6m\right)\left(l^2-6lm+36m^2\right)\end{aligned}
\therefore 2\times \left(l+6m\right)\left(l^2-6lm+36m^2\right) हे 2l^3+432m^3 ह्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 9:
24a^3+81b^3
उत्तर:
24a^3+81b^3
ही बैजिक राशी आपण आधी सोपी करून घेऊयात आणि त्यासाठी 3 हा सामाईक (कॉमन) गुणक वेगळा करूयात,
3\times \left(8a^3+27b^3\right)
मग आता आधी कंस सोडवून घेऊयात. इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=8a^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{8a^3}
\therefore a=2a
b^3=27b^3
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{27b^3}
\therefore b=3b
a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore 3\times \left(8a^3+27b^3\right)&=3\times \left(2a+3b\right)\left(4a^2-\left(2a\times3b\right)+9b^2\right) \\ &=3\times \left(2a+3b\right)\left(4a^2-6ab+9b^2\right)\end{aligned}
\therefore 3\times \left(2a+3b\right)\left(4a^2-6ab+9b^2\right) हे 24a^3+81b^3 ह्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 10:
y^3+\frac{1}{8y^3}
उत्तर:
y^3+\frac{1}{8y^3}
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=y^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{y^3}
\therefore a=y
b^3=\frac{1}{8y^3}
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{\frac{1}{8y^3}}
\therefore b=\frac{1}{2y}
a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore y^3+\frac{1}{8y^3}&=\left(y+\frac{1}{2y}\right)-\left(y^2-\left(y\times \frac{1}{2y}\right)+\frac{1}{4y^2}\right) \\ &=\left(y+\frac{1}{2y}\right)\left(y^2-\frac{1}{2}+\frac{1}{4y^2}\right)\end{aligned}
\therefore \left(y+\frac{1}{2y}\right)\left(y^2-\frac{1}{2}+\frac{1}{4y^2}\right) हे y^3+\frac{1}{8y^3} ह्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 11:
a^3+\frac{8}{a^3}
उत्तर:
a^3+\frac{8}{a^3}
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=a^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{a^3}
\therefore a=a
b^3=\frac{8}{a^3}
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{\frac{8}{a^3}}
\therefore b=\frac{2}{a}
a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore a^3+\frac{8}{a^3}&=\left(a+\frac{2}{a}\right)-\left(a^2-\left(a\times \frac{2}{a}\right)+\frac{4}{a^2}\right) \\ &=\left(a+\frac{2}{a}\right)-\left(a^2-2+\frac{4}{a^2}\right)\end{aligned}
\therefore \left(a+\frac{2}{a}\right)-\left(a^2-2+\frac{4}{a^2}\right) हे a^3+\frac{8}{a^3} ह्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 12:
1+\frac{q^3}{125}
उत्तर:
1+\frac{q^3}{125}
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=1
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{1}
\therefore a=1
b^3=\frac{q^3}{125}
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{\frac{q^3}{125}}
\therefore b=\frac{q}{5}
a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore 1+\frac{q^3}{125}&=\left(1+\frac{q}{5}\right)-\left(1^2-\left(1\times \frac{q}{5}\right)+\frac{q^2}{25}\right) \\ &=\left(1+\frac{q}{5}\right)-\left(1-\frac{q}{5}+\frac{q^2}{25}\right)\end{aligned}
\therefore \left(1+\frac{q}{5}\right)-\left(1-\frac{q}{5}+\frac{q^2}{25}\right) हे 1+\frac{q^3}{125} ह्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
दोन घनांच्या वजाबाकीचे अवयव
\mathbf{\left(a^3-b^3\right)} ह्या प्रकारच्या बैजिक राशींचे अवयव कसे काढायचे ते आता पाहुयात,
आपल्याला आधीच माहित आहे की \left(a-b\right)^3 चं विस्तार सूत्र काय आहे,
\begin{aligned} \\ \left(a-b\right)^3&=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \\ &=a^3-b^3-3ab\left(a-b\right)\end{aligned}बाजूंची अदलाबदल करून,
\begin{aligned} \\ \therefore a^3-b^3&=\left(a-b\right)^3+3ab\left(a-b\right) \\ &=\left(a-b\right)\left(a-b\right)^2+3ab\left(a-b\right) \\ &=\left(a-b\right)\left[\left(a-b\right)^2+3ab\right] \\ &=\left(a-b\right)\left(a^2+b^2-2ab+3ab\right) \\ &=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\end{aligned}
| \mathbf{a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)} |
उदाहरण 1:
x^3-8y^3
उत्तर:
x^3-8y^3
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=x^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{x^3}
\therefore a=x
b^3=8y^3
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{8y^3}
\therefore b=2y
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore x^3-8y^3&=\left(x-2y\right)\left(x^2+\left(x\times2y\right)+4y^2\right) \\ &=\left(x-2y\right)\left(x^2+2xy+4y^2\right)\end{aligned}
\therefore \left(x-2y\right)\left(x^2+2xy+4y^2\right) हे x^3-8y^3 ह्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 2:
27p^3-125q^3
उत्तर:
27p^3-125q^3
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=27p^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{27p^3}
\therefore a=3p
b^3=125q^3
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{125q^3}
\therefore b=5q
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore 27p^3-125q^3&=\left(3p-5q\right)\left(9p^2+\left(3p\times5q\right)+25q^2\right) \\ &=\left(3p-5q\right)\left(9p^2+15pq+25q^2\right)\end{aligned}
\therefore \left(3p-5q\right)\left(9p^2+15pq+25q^2\right) हे 27p^3-125q^3 ह्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 3:
54p^3-250q^3
उत्तर:
54p^3-250q^3
ही बैजिक राशी आपण आधी सोपी करून घेऊयात आणि त्यासाठी 2 हा सामाईक (कॉमन) गुणक वेगळा करूयात,
2\times \left(27p^3+125q^3\right)
मग आता आधी कंस सोडवून घेऊयात. इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=27p^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{27p^3}
\therefore a=3p
b^3=125q^3
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{125q^3}
\therefore b=5q
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore 54p^3-250q^3&=2\left(3p-5q\right)\left(9p^2+\left(3p\times5q\right)+25q^2\right) \\ &=2\left(3p-5q\right)\left(9p^2+15pq+25q^2\right)\end{aligned}
\therefore 2\left(3p-5q\right)\left(9p^2+15pq+25q^2\right) हे 54p^3-250q^3 ह्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 4:
a^3-\frac{1}{a^3}
उत्तर:
a^3-\frac{1}{a^3}
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=a^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{a^3}
\therefore a=a
b^3=\frac{1}{a^3}
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{\frac{1}{a^3}}
\therefore b=\frac{1}{a}
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore a^3-\frac{1}{a^3}&=\left(a-\frac{1}{a}\right)\left(a^2+\left(\cancel{a}\times \frac{1}{\cancel{a}}\right)+\frac{1}{a^2}\right) \\ &=\left(a-\frac{1}{a}\right)\left(a^2+1+\frac{1}{a^2}\right)\end{aligned}
\therefore \left(a-\frac{1}{a}\right)\left(a^2+1+\frac{1}{a^2}\right) हे a^3-\frac{1}{a^3} ह्या बैजिक राशींचे अवयव आहेत.
उदाहरण 5:
सोपे रूप द्या: \left(a-b\right)^3-\left(a^3-b^3\right)
उत्तर:
\left(a-b\right)^3-\left(a^3-b^3\right)
महत्वाचं: इथे लक्षात घ्या की आपल्याला \left(a-b\right) कंसाचा घन दिलेला आहे आणि त्यासाठी आधीच्या विस्तारसुत्रांच्या प्रकरणात शिकलेलं \left(a-b\right)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\; हे विस्तारसूत्र आपल्याला वापरावं लागणार आहे.
\begin{aligned}\therefore \left(a-b\right)^3-\left(a^3-b^3\right)&=\cancel{a^3}-3a^2b+3ab^2-\cancel{b^3}-\cancel{a^3}+\cancel{b^3} \\ &=3ab^2-3a^2b\end{aligned}
उदाहरण 6:
सोपे रूप द्या: \left(2x+3y\right)^3-\left(2x-3y\right)^3
उत्तर:
\left(2x+3y\right)^3-\left(2x-3y\right)^3
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=\left(2x+3y\right)^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{\left(2x+3y\right)^3}
\therefore a=\left(2x+3y\right)
b^3=\left(2x-3y\right)^3
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{\left(2x-3y\right)^3}
b=\left(2x-3y\right)
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) सूत्र वापरून,
\begin{aligned} \\ \therefore \left(2x+3y\right)^3-\left(2x-3y\right)^3=&\left[\left(2x+3y\right)-\left(2x-3y\right)\right] \\ &\left[\left(2x+3y\right)^2+\left(2x+3y\right)\left(2x-3y\right)+\left(2x-3y\right)^2\right] \\ =&\left[\cancel{2x}+3y-\cancel{2x}+3y\right] \\ &\left[4x^2+\cancel{6xy}+9y^2+4x^2-\cancel{6xy}+\cancel{6xy}-\cancel{9y^2}+4x^2-\cancel{6xy}+\cancel{9y^2}\right] \\ =&\left(6y\right)\left(12x^2+9y^2\right) \\ =&72x^2y+54y^3\end{aligned}
उदाहरण 7:
सोपे रूप द्या: y^3-27
उत्तर:
y^3-27
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=y^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{y^3}
\therefore a=y
b^3=27
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{27}
b=3
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore y^3-27&=\left(y-3\right)\left[\left(y\right)^2+\left(y\times 3\right)+\left(3\right)^2\right] \\ &=\left(y-3\right)\left(y^2+3y+9\right)\end{aligned}
उदाहरण 8:
सोपे रूप द्या: x^3-64y^3
उत्तर:
x^3-64y^3
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=x^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{x^3}
\therefore a=x
b^3=64y^3
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{64y^3}
b=4y
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) सूत्र वापरून,
\begin{aligned} \\ \therefore x^3-64y^3&=\left(x-4y\right)\left[\left(x\right)^2+\left(x\times 4y\right)+\left(4y\right)^2\right] \\ &=\left(x-4y\right)\left(x^2+4xy+16y^2\right)\end{aligned}
उदाहरण 9:
सोपे रूप द्या: 27m^3-216n^3
उत्तर:
27m^3-216n^3
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=27m^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{27m^3}
\therefore a=3m
b^3=216n^3
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{216n^3}
b=6n
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore 27m^3-216n^3&=\left(3m-6n\right)\left[\left(3m\right)^2+\left(3m\times6n\right)+\left(6n\right)^2\right] \\ &=\left(3m-6n\right)\left(9m^2+18mn+36n^2\right) \\ &=3\left[\left(m-2n\right)\left(3m^2+6mn+6n^2\right)\right]\end{aligned}
उदाहरण 10:
सोपे रूप द्या: 125y^3-1
उत्तर:
125y^3-1
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=125y^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{125y^3}
\therefore a=5y
b^3=1
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{1}
b=1
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore 125y^3-1&=\left(5y-1\right)\left[\left(5y\right)^2+\left(5y\times 1\right)+\left(1\right)^2\right] \\ &=\left(5y-1\right)\left(25y^2+5y+1\right)\end{aligned}
उदाहरण 11:
सोपे रूप द्या: 8p^3-\frac{27}{p^3}
उत्तर:
8p^3-\frac{27}{p^3}
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=8p^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{8p^3}
\therefore a=2p
b^3=\frac{27}{p^3}
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{\frac{27}{p^3}}
b=\frac{3}{p}
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore 8p^3-\frac{27}{p^3}&=\left(2p-\frac{3}{p}\right)\left[\left(2p\right)^2+\left(2\cancel{p}\times \frac{3}{\cancel{p}}\right)+\left(\frac{3}{p}\right)^2\right] \\ &=\left(2p-\frac{3}{p}\right)\left(4p^2+\frac{9}{p^2}+6\right)\end{aligned}
उदाहरण 12:
सोपे रूप द्या: 343a^3-512b^3
उत्तर:
343a^3-512b^3
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=343a^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{343a^3}
\therefore a=7a
b^3={512b^3}
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{512b^3}
b=8b
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) सूत्र वापरून,
\begin{aligned} \\ \therefore 343a^3-512b^3&=\left(7a-8b\right)\left[\left(7a\right)^2+\left(7a\times 8b\right)+\left(8b\right)^2\right] \\ &=\left(7a-8b\right)\left(49a^2+56ab+64b^2\right)\end{aligned}
उदाहरण 13:
सोपे रूप द्या: 64x^3-729y^3
उत्तर:
64x^3-729y^3
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=64x^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{64x^3}
\therefore a=4x
b^3=729y^3
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{729^3}
b=9y
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore 64x^3-729y^3&=\left(4x-9y\right)\left[\left(4x\right)^2+\left(4x\times 9y\right)+\left(9y\right)^2\right] \\ &=\left(4x-9y\right)\left(16x^2+36xy+81y^3\right)\end{aligned}
उदाहरण 14:
सोपे रूप द्या: 16a^3-\frac{128}{b^3}
उत्तर:
16a^3-\frac{128}{b^3}
ही बैजिक राशी आपण आधी सोपी करून घेऊयात आणि त्यासाठी 16 हा सामाईक (कॉमन) गुणक वेगळा करूयात,
16\times \left(a^3+\frac{8}{b^3}\right)
मग आता आधी कंस सोडवून घेऊयात. इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
a^3=a^3
\therefore a^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{a^3} = \sqrt[3]{a^3}
\therefore a=a
b^3=\frac{8}{b^3}
\therefore b^3 चं घनमूळ \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{\frac{8}{b^3}}
\therefore b=\frac{2}{b}
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\therefore 16a^3-\frac{128}{b^3}&=16\left(a-\frac{2}{b}\right)\left[\left(a\right)^2+\left(a\times \frac{2}{b}\right)+\left(\frac{2}{b}\right)^2\right]\\&=16\left(a-\frac{2}{b}\right)\left(a^2+\frac{2a}{b}+\frac{4}{b^2}\right)\end{aligned}
उदाहरणं
मित्रांनो, गणित चांगलं करायचं असेल तर जास्तीत जास्त गणितं सोडणविण्याशिवाय दुसरा पर्याय नाही.
उदाहरण 1:
\left(x+y\right)^3-\left(x-y\right)^3
उत्तर:
\left(x+y\right)^3-\left(x-y\right)^3
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
\begin{aligned}a^3&=\left(x+y\right)^3\\\therefore a&=\sqrt[3]{\left(x+y\right)^3}\\\therefore a&=\left(x+y\right)\end{aligned}
\begin{aligned}b^3&=\left(x-y\right)^3\\\therefore b&=\sqrt[3]{\left(x-y\right)^3}\\\therefore b&=\left(x-y\right)\end{aligned}
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) सूत्र वापरून,
\begin{aligned}\left(x+y\right)^3-\left(x-y\right)^3&=\left[\left(x+y\right)-\left(x-y\right)\right]\left[\left(x+y\right)^2+\left(\left(x+y\right)\times \left(x-y\right)\right)+\left(x-y\right)^2\right]\\&=2y\left(x^2+y^2+\cancel{2xy}+x^2-\cancel{xy}+\cancel{xy}-y^2+x^2+\cancel{y^2}-\cancel{2xy}\right)\\&=2y\left(3x^2+y^2\right)\\&=6x^2y+2y^3\end{aligned}
उदाहरण 2:
\left(3a+5b\right)^3-\left(3a-5b\right)^3
उत्तर:
\left(3a+5b\right)^3-\left(3a-5b\right)^3
इथे लक्षात घ्या की आपल्याला आधी a आणि b च्या किमती काढाव्या लागणार आहेत आणि त्यासाठी a^3 आणि b^3 ची घनामुळं काढावी लागणार आहेत.
\begin{aligned} \\ a^3&=\left(3a+5b\right)^3 \\ \therefore a&=\sqrt[3]{\left(3a+5b\right)^3} \\ \therefore a&=\left(3a+5b\right)\end{aligned}
\begin{aligned} \\ b^3&=\left(3a-5b\right)^3 \\ \therefore b&=\sqrt[3]{\left(3a-5b\right)^3} \\ \therefore b&=\left(3a-5b\right)\end{aligned}
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) सूत्र वापरून,
\begin{aligned} \\ \left(3a+5b\right)^3-\left(3a-5b\right)^3=&\left[\left(3a+5b\right)-\left(3a-5b\right)\right] \\ &\left[\left(3a+5b\right)^2+\left(\left(3a+5b\right)\times \left(3a-5b\right)\right)+\left(3a-5b\right)^2\right] \\ =&\left(10b\right)\left(9a^2+\cancel{25b^2}+\cancel{30ab}+9a^2-\cancel{15ab}+\cancel{15ab}-\cancel{25b^2}+9a^2+25b^2-\cancel{30ab}\right) \\ =&\;10b\left(27a^2+25b^2\right) \\ =&270a^2b+250b^3\end{aligned}
उदाहरण 3:
\left(a+b\right)^3-a^3-b^3
उत्तर:
\left(a+b\right)^3-a^3-b^3
आपण आधी ही बैजिक राशी सोपी करून घेऊयात. इकडे आपण -a^3-b^3 ला कंसात टाकुयात आणि सामायिक वजा चिन्ह बाहेर काढूयात. सामायिक वजा चिन्ह बाहेर काढल्यामुळे -a^3-b^3 चे रूपांतर -\left(a^3+b^3\right) मध्ये होते, हे इथे लक्षात घ्या.
\begin{aligned}\therefore ∴\left(a+b\right)^3-a^3-b^3&=\left(a+b\right)^3-\left(a^3+b^3\right)\end{aligned}
आता आपल्याला \left(a+b\right)^3 चे विस्तार सूत्र वापरावे लागणार आहे आणि \left(a^3-b^3\right) चे अवयव सूत्र वापरावे लागणार आहे.
\left(a+b\right)^3 चे विस्तार सूत्र : \left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
\left(a^3+b^3\right) चे अवयव सूत्र : \left(a^3+b^3\right)=\left(a+b\right)\left(a^3-ab+b^3\right)
\begin{aligned}\left(a+b\right)^3-a^3-b^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-\left[\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\right]\\&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-\left[a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\right]\\&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-a^3+a^2b-ab^2-a^2b+ab^2-b^3\\&=\cancel{a^3}+3a^2b+3ab^2+\cancel{b^3}-\cancel{a^3}+\cancel{a^2b}-\cancel{ab^2}-\cancel{a^2b}+\cancel{ab^2}-\cancel{b^3}\\&=3a^2b+3ab^2\end{aligned}
उदाहरण 4:
p^3-\left(p+1\right)^3
उत्तर:
आपल्याला \left(p-1\right)^3 साठी इथे चं विस्तार सूत्र वापरावं लागणार आहे.
\left(a+b\right)^3 चे विस्तार सूत्र : \left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
\begin{aligned}p^3-\left(p+1\right)^3&=p^3-\left(p^3+3p^2+3p+1\right)\\&=\cancel{p^3}-\cancel{p^3}-3p^2-3p-1\\&=-3p^2-3p-1\end{aligned}
उदाहरण 5:
\left(3xy-2ab\right)^3-\left(3xy+2ab\right)^3
उत्तर:
आपल्याला \left(3xy-2ab\right)^3 साठी इथे \left(a-b\right)^3 चं विस्तार सूत्र आणि \left(3xy+2ab\right)^3 साठी इथे चं विस्तार सूत्र वापरावं लागणार आहे.
\left(a+b\right)^3 चे विस्तार सूत्र : \left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
\left(a-b\right)^3 चे विस्तार सूत्र : \left(a+b\right)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
\begin{aligned} \\ \therefore \left(3xy-2ab\right)^3-\left(3xy+2ab\right)^3=&\left[\left(3xy\right)^3-3\left(\left(3xy\right)^2\times 2ab\right)+3\left(3xy\times \left(ab\right)^2\right)-\left(2ab\right)^3\right]- \\ &\left[\left(3xy\right)^3+3\left(\left(3xy\right)^2\times 2ab\right)+3\left(3xy\times \left(ab\right)^2\right)+\left(2ab\right)^3\right] \\ =&\left[27x^3y^3-54x^2y^2ab+9xya^2b^2-8a^3b^3\right]- \\ &\left[27x^3y^3+54x^2y^2ab+9xya^2b^2+8a^3b^3\right] \\ =&\;\cancel{27x^3y^3}-54x^2y^2ab+\cancel{9xya^2b^2}-8a^3b^3- \\ &\;\cancel{27x^3y^3}-54x^2y^2ab- \cancel{9xya^2b^2}-8a^3b^3 \\ =&-54x^2y^2ab-8a^3b^3-54x^2y^2ab-8a^3b^3 \\ =&-108y^2ab-16a^3b^3\end{aligned}
गुणोत्तरीय बैजिक राशी
जेंव्हा दोन बैजिक राशी गुणोत्तरीय (म्हणजे अंश / छेद) ह्या स्वरूपात असतात, तेंव्हा त्या बैजिक राशींना गुणोत्तरीय बैजिक राशी म्हणतात.
उदाहरणार्थ \left(\frac{a+b}{a-b}\right) किंवा \left(\frac{x^2+2a}{y^2-2b}\right)
परिमेय संख्यांवर करण्यात येणाऱ्या बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार ह्या गणितीय क्रिया गुणोत्तरीय बैजिक राशींवरही करता येतात.
चला तर मग आता आपण गुणोत्तरीय बैजिक राशींची काही उदाहरणं सोडवूयात,
उदाहरण 1:
\begin{aligned}\left(\frac{a^2+5a+6}{a^2-a-12}\right)\times \left(\frac{a-4}{a^2-4}\right)\end{aligned}
उत्तर:
इथे लक्षात घ्या की ह्या गुणोत्तरीय बैजिक राशीचा अंश आणि छेद हे ax^2+bx+c ह्या स्वरूपातील वर्गत्रिपदी आहेत आणि आधी शिकल्याप्रमाणे आपल्याला माहित आहे की ह्या वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशीचे अवयव पाडायला खालील सूत्राचा आपल्याला उपयोग करावा लागतो,
\mathbf{x^2+x\left(a+b\right)+ab}
पायरी 1:
आधी आपण a^2+5a+6 ही वर्गत्रिपदी विचारात घेऊ आणि ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना वरील अवयव सूत्राबरोबर करूयात.
x^2=a^2
x\left(a+b\right)=5a
ab=6
इथे \left(a+b\right)=5a आहे आणि ab=6 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज 5 आहे आणि त्यांचा गुणाकार 6 आहे आणि त्यासाठी आपल्याला 6 चे अवयव पडून घ्यावे लागतील.
\begin{array}{ | c | c | }\hline 2 & 6 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
\therefore 6=2\times 3 आणि 5=2+3
\begin{aligned}\therefore a^2+5a+6&=a^2+2a+3a+6\\&=a\left(a+2\right)+3\left(a+2\right)\\&=\left(a+2\right)\left(a+3\right)\end{aligned}
पायरी 2:
आता आपण छेदातली a^2-a-12 ही दुसरी वर्गत्रिपदी विचारात घेऊ आणि ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना वरील अवयव सूत्राबरोबर करूयात.
x^2=a^2
x\left(a+b\right)=-1a
ab=12
इथे \left(a+b\right)=a आहे आणि ab=12 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज -1 आहे आणि त्यांचा गुणाकार 12 आहे आणि त्यासाठी आपल्याला 6 चे अवयव पडून घ्यावे लागतील.
\begin{array}{ | c | c | }\hline 2 & 12 \\ \hline 2 & 6 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
\therefore 6=4\times 3 आणि 1=-4+3
\begin{aligned}\therefore a^2-a-12&=a^2-4a+3a-12\\&=a\left(a-4\right)+3\left(a-4\right)\\&=\left(a+3\right)\left(a-4\right)\end{aligned}
पायरी 3:
आता आपण \left(a^2-4\right) ह्या बैजिक राशीचे अवयव पाडूयात,
\left(a^2-4\right)=\left(a+2\right)\left(a-2\right)
आता आपण वरील तीनही पायऱ्यांमध्ये मिळालेले बैजिक राशींचे अवयव वापरून ही गुणोत्तरीय बैजिक राशी सोडवूयात,
\begin{aligned} \\ \therefore \left(\frac{a^2+5a+6}{a^2-a-12}\right)\times \left(\frac{a-4}{a^2-4}\right)&=\frac{\cancel{\left(a+2\right)}\cancel{\left(a+3\right)}}{\cancel{\left(a+3\right)}\cancel{\left(a-4\right)}}\times \frac{\cancel{\left(a-4\right)}}{\cancel{\left(a+2\right)}\left(a-2\right)} \\ &=\frac{1}{a-2}\end{aligned}
उदाहरण 2:
\begin{aligned}\frac{7x^2+18x+8}{49x^2-16}\times \frac{14x-8}{x-2}\end{aligned}
उत्तर:
इथे लक्षात घ्या की ह्या गुणोत्तरीय बैजिक राशीचा अंश हा ax^2+bx+c ह्या स्वरूपातील वर्गत्रिपदी आहे आणि आधी शिकल्याप्रमाणे आपल्याला माहित आहे की ह्या वर्गत्रिपदी स्वरूपाच्या बैजिक राशीचे अवयव काढायला खालील सूत्राचा आपल्याला उपयोग करावा लागतो,
x^2+x\left(a+b\right)+ab
पायरी 1:
आधी आपण 7x^2+18x+8 ही वर्गत्रिपदी विचारात घेऊ आणि ह्या वर्गत्रिपदीची तुलना वरील अवयव सूत्राबरोबर करूयात.
a^2=7x^2
x\left(a+b\right)=18x
ab=8
इथे \left(a+b\right)=18x आहे आणि ab=8 आहे. याचाच अर्थ असा की आपल्याला “a” आणि “b” च्या अशा किमती शोधायच्या आहेत की ज्यांची बेरीज 18 आहे आणि त्यांचा गुणाकार 8 आहे आणि त्यासाठी आपल्याला 8 चे अवयव पडून घ्यावे लागतील.
\begin{array}{ | c | c | }\hline 2 & 8 \\ \hline 2 & 4 \\ \hline 2 & 2 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
6 = 2\times 2\times 2, पण 2 + 2 + 2 = 6 होतात, 18 नाही.
मग आता \left(a+b\right)=18 काढायला आपल्याला पुढील पद्धत वापरावी लागते, ती लक्षपूर्वक बघा.
1) आपली वर्गत्रिपदी 7x^2+18x+8 आहे. ह्यातल्या 7x^2 मधल्या 7 ने शेवटच्या 8 ला गुणायचं.
\begin{aligned}\therefore \left(8\times 7\right)=56\end{aligned}
2) आता आपण 56 चे अवयव पाडूयात,
\begin{array}{ | c | c | }\hline 2 & 56 \\ \hline 2 & 28 \\ \hline 2 & 14 \\ \hline 7 & 7 \\ \hline & 1 \\ \hline\end{array}
\therefore 56=2\times 2\times 2\times 7=14\times 4 आणि 18=14+4.
\begin{aligned}\therefore 7x^2+18x+8&=7x^2+14x+4x+8\\&=7x\left(x+2\right)+4\left(x+2\right)\\&=\left(7x+4\right)\left(x+2\right)\end{aligned}
पायरी 2:
आता आपण \left(49x^2-16\right) चे अवयव पाडूयात,
\begin{aligned}\therefore \left(49x^2-16\right)&=\left(7x+4\right)\left(7x-4\right)\end{aligned}
आता आपण वरील दोनही पायऱ्यांमध्ये मिळालेले बैजिक राशींचे अवयव वापरून ही गुणोत्तरीय बैजिक राशी सोडवूयात,
\begin{aligned}\therefore \frac{\left(7x^2+18x+8\right)}{\left(49x^2-16\right)}\times \frac{\left(14x-8\right)}{\left(x+2\right)}&=\frac{\cancel{\left(7x+4\right)}\cancel{\left(x+2\right)}}{\cancel{\left(7x+4\right)}\cancel{\left(7x-4\right)}}\times \frac{2\cancel{\left(7x-4\right)}}{\cancel{\left(x+2\right)}}\end{aligned}
\begin{aligned}\therefore \frac{7x^2+18x+8}{49x^2-16}\times \frac{\left(14x-8\right)}{\left(x+2\right)}&=2\end{aligned}
उदाहरण 3:
\begin{aligned}\frac{x^2-9y^2}{x^3-27y^3}\end{aligned}
उत्तर:
इथे आपल्याला अंश आणि छेद ह्यांचे अवयव आधी पडून घ्यावे लागतील,
x^2-9y^2=\left(x+3y\right)\left(x-3y\right)
आणि
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) हे सूत्र वापरून,
x^3-27y^3=\left(x-3y\right)\left(x^2+3xy+9y^2\right)
\begin{aligned}\therefore \frac{x^2-9y^2}{x^3-27y^3}&=\frac{\left(x+3y\right)\cancel{\left(x-3y\right)}}{\cancel{\left(x-3y\right)}\left(x^2+3xy+9y^2\right)}\\&=\frac{x+3y}{x^2+3x+9y^2}\end{aligned}
उदाहरण 4:
\begin{aligned} \\ \frac{m^2-n^2}{(m+n)^2}\times \frac{m^2+mn+n^2}{m^3-n^3}\end{aligned}
उत्तर:
हे उदाहरण सोडवताना आपण आत्तापर्यंत शिकलेल्या खालील सूत्रांचा उपयोग करावा लागणार आहे,
a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^3\right)
\begin{aligned}\therefore \frac{m^2-n^2}{\left(m+n\right)^2}\times \frac{m^2+mn+n^2}{m^3-n^3}&= \frac{\cancel{\left(m+n\right)}\cancel{\left(m-n\right)}}{\left(m+n\right)^{\cancel{\text{2}}}}\times \frac{\cancel{m^2+mn+n^2}}{\cancel{\left(m-n\right)}\cancel{\left(m^2+mn+n^2\right)}} \\ &=\frac{1}{m+n}\end{aligned}
उदाहरण 5:
\begin{aligned}\frac{a^2+10a+21}{a^2+6a-7}\times \frac{a^2-1}{a+3}\end{aligned}
उत्तर:
हे उदाहरण सोडवताना आपण आत्तापर्यंत शिकलेल्या खालील सूत्रांचा उपयोग करावा लागणार आहे,
x^2+x\left(a+b\right)+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right)
a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)
\begin{aligned}\therefore \frac{a^2+10a+21}{a^2+6a-7}\times \frac{a^2-1}{a+3}&=\frac{a^2+7a+3a+21}{a^2+7a-1a-7}\times \frac{\left(a+1\right)\left(a-1\right)}{\left(a+3\right)}\\&=\frac{a\left(a+7\right)+3\left(a+7\right)}{a\left(a+7\right)-1\left(a+7\right)}\times \frac{\left(a+1\right)\left(a-1\right)}{\left(a+3\right)}\\&=\frac{\cancel{\left(a+7\right)}\cancel{\left(a+3\right)}}{\cancel{\left(a+7\right)}\cancel{\left(a-1\right)}}\times \frac{\left(a+1\right)\cancel{\left(a-1\right)}}{\cancel{\left(a+3\right)}}\\&=\left(a+1\right)\end{aligned}
उदाहरण 6:
\begin{aligned}\frac{x^2-5x-24}{\left(x+3\right)\left(x+8\right)}\times \frac{\left(x^2-64\right)}{\left(x-8\right)^2}\end{aligned}
उत्तर:
हे उदाहरण सोडवताना आपण आत्तापर्यंत शिकलेल्या खालील सूत्रांचा उपयोग करावा लागणार आहे,
\left(x+a\right)\left(x+b\right)=x^2+x\left(a+b\right)+ab
a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)
\begin{aligned}\therefore \frac{x^2-5x-24}{\left(x+3\right)\left(x+8\right)}\times \frac{\left(x^2-64\right)}{\left(x-8\right)^2}&=\frac{x^2-8x+3x-24}{\left(x+3\right)\left(x+8\right)}\times \frac{\left(x+8\right)\left(x-8\right)}{\left(x-8\right)^2}\\&=\frac{x\left(x-8\right)+3\left(x-8\right)}{\left(x+3\right)\left(x+8\right)}\times \frac{\left(x+8\right)\left(x-8\right)}{\left(x-8\right)^2}\\&=\frac{\cancel{\left(x-8\right)}\cancel{\left(x+3\right)}}{\cancel{\left(x+3\right)}\cancel{\left(x+8\right)}}\times \frac{\cancel{\left(x+8\right)}\cancel{\left(x-8\right)}}{\cancel{\left(x-8\right)^2}}\\&= 1\end{aligned}
उदाहरण 7:
\begin{aligned}\frac{3x^2-x-2}{x^2-7x+12}\div\frac{3x^2-7x-6}{x^2-4}\end{aligned}
उत्तर:
महत्वाचं: ह्या उदाहरणातलं भागाकाराचं चिन्ह लक्षात घ्या. आता ह्या उदाहरणाचं रूपांतर गुणाकारात करायचं असेल तर आपल्याला भागाकाराच्या चिन्हाच्या उजवीकडील अंश आणि छेदाची अदलाबदल करावी लागेल (कारण गुणाकार आणि भागाकार ह्या परस्पर विरुद्ध गणितीय क्रिया आहेत.
\begin{aligned}\therefore \frac{3x^2-x-2}{x^2-7x+12}\times \frac{x^2-4}{3x^2-7x-6}\end{aligned}
हे उदाहरण सोडवताना आपण आत्तापर्यंत शिकलेल्या खालील सूत्रांचा उपयोग करावा लागणार आहे,
\left(x+a\right)\left(x+b\right)=x^2+x\left(a+b\right)+ab
a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)
\begin{aligned}\therefore \frac{3x^2-x-2}{x^2-7x+12}\times \frac{x^2-4}{3x^2-7x-6}&=\frac{3x^2-3x+2x-2}{x^2-4x-3x+12}\times \frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{3x^2-9x+2x-6}\\&=\frac{3x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)}{x\left(x-4\right)-3\left(x-4\right)}\times \frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{3x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)}\\&=\frac{\cancel{\left(3x+2\right)}\left(x-1\right)}{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}\times \frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\cancel{\left(3x+2\right)}\left(x-3\right)}\\&=\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x-3\right)^2\left(x-4\right)}\end{aligned}
उदाहरण 8:
\begin{aligned}\frac{4x^2-11x+6}{16x^2-9}\end{aligned}
उत्तर:
हे उदाहरण सोडवताना आपण आत्तापर्यंत शिकलेल्या खालील सूत्रांचा उपयोग करावा लागणार आहे,
\left(x+a\right)\left(x+b\right)=x^2+x\left(a+b\right)+ab
a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)
हे उदाहरण सोडवताना आपल्याला प्रथम अंशात असलेली वर्गत्रिपदी लक्षात घ्यावी लागणार आहे. 4x^2-11x+6 मधल्या 4x^2 मधील 4 ने शेवटच्या पदातील 6 ला गुणावे लागणार आहे आणि मग येणाऱ्या गुणाकाराचे असे अवयव पाडावे लागणार आहेत की ज्यांची बेरीज 11 येईल.
\begin{aligned}\therefore \frac{4x^2-11x+6}{16x^2-9}&=\frac{4x^2-8x-3x+6}{\left(4x+3\right)\left(4x-3\right)}\\&=\frac{4x\left(x-2\right)-3\left(x-2\right)}{\left(4x+3\right)\left(4x-3\right)}\\&=\frac{\cancel{\left(4x-3\right)}\left(x-2\right)}{\left(4x+3\right)\cancel{\left(4x-3\right)}}\\&=\frac{x-2}{4x+3}\end{aligned}
उदाहरण 9:
\begin{aligned}\frac{a^3-27}{5a^2-16a+3}\div\frac{a^2+3a+9}{25a^2-1}\end{aligned}
उत्तर:
महत्वाचं: ह्या उदाहरणातलं भागाकाराचं चिन्ह लक्षात घ्या. आता ह्या उदाहरणाचं रूपांतर गुणाकारात करायचं असेल तर आपल्याला भागाकाराच्या चिन्हाच्या उजवीकडील अंश आणि छेदाची अदलाबदल करावी लागेल (कारण गुणाकार आणि भागाकार ह्या परस्पर विरुद्ध गणितीय क्रिया आहेत.
\begin{aligned}\therefore \frac{a^3-27}{5a^2-16a+3}\times \frac{25a^2-1}{a^2+3a+9}\end{aligned}
हे उदाहरण सोडवताना आपल्याला प्रथम अंशात असलेली वर्गत्रिपदी लक्षात घ्यावी लागणार आहे. 5a^2-16a+3 मधल्या 5a^2 मधील 5 ने शेवटच्या पदातील 3 ला गुणावे लागणार आहे आणि मग येणाऱ्या गुणाकाराचे असे अवयव पाडावे लागणार आहेत की ज्यांची बेरीज 16 येईल.
\begin{aligned}\therefore \frac{a^3-27}{5a^2-16a+3}\times \frac{a^2+3a+9}{25a^2-1}&=\frac{\left(a-3\right)\left(a^2+3a+9\right)}{5a^2-15a-1a+3}\times \frac{\left(5a+1\right)\left(5a-1\right)}{\left(a^2+3a+9\right)}\\&=\frac{\left(a-3\right)\left(a^2+3a+9\right)}{5a\left(a-3\right)-1\left(a-3\right)}\times \frac{\left(5a+1\right)\left(5a-1\right)}{\left(a^2+3a+9\right)}\\&=\frac{\left(a-3\right)\left(a^2+3a+9\right)}{\left(5a-1\right)\left(a-3\right)}\times \frac{\left(5a+1\right)\left(5a-1\right)}{\left(a^2+3a+9\right)}\\&=\frac{\cancel{\left(a-3\right)}\cancel{\left(a^2+3a+9\right)}}{\cancel{\left(5a-1\right)}\cancel{\left(a-3\right)}}\times \frac{\left(5a+1\right)\cancel{\left(5a-1\right)}}{\cancel{\left(a^2+3a+9\right)}}\\&=5a+1\end{aligned}
उदाहरण 10:
\begin{aligned}\frac{1-2x+x^2}{1-x^3}\times \frac{1+x+x^2}{1+x}\end{aligned}
उत्तर:
हे उदाहरण सोडवताना आपण आत्तापर्यंत शिकलेल्या खालील सूत्रांचा उपयोग करावा लागणार आहे,
\left(x+a\right)\left(x+b\right)=x^2+x\left(a+b\right)+ab
a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)
\begin{aligned}\therefore \frac{1-2x+x^2}{1-x^3}\times \frac{1+x+x^2}{1+x}&=\frac{\left(1-x-x+x^2\right)}{\left(1-x\right)\left(1+x+x^2\right)}\times \frac{\left(1+x+x^2\right)}{\left(1+x\right)}\\&=\frac{1\left(1-x\right)-x\left(1-x\right)}{\left(1-x\right)\left(1+x+x^2\right)}\times \frac{\left(1+x+x^2\right)}{\left(1+x\right)}\\&=\frac{\left(1-x\right)\cancel{\left(1-x\right)}}{\cancel{\left(1-x\right)}\cancel{\left(1+x+x^2\right)}}\times \frac{\cancel{\left(1+x+x^2\right)}}{\left(1+x\right)}\\&=\frac{1-x}{1+x}\end{aligned}
इयत्ता 8 वीचे पाठयपुस्तक: इथे क्लिक करा