इयत्ता 8 वी बहुपदींचा भागाकार कसा करतात? : बहुपदींचा भागाकार हा बहुपदी संख्यांचा गणितीय विभाजन प्रक्रियेचा एक महत्त्वाचा भाग आहे. या प्रक्रियेत एका बहुपदीला दुसऱ्या बहुपदीने भागून भागाकार व बाकी शोधले जाते. बहुपदींचा भागाकार ही संकल्पना बीजगणितात समीकरणे सोडवण्यासाठी आणि बैजिक राशींचे विभाजन करण्यासाठी उपयोगी पडते.
मूलभूत गणितीय क्रिया
इयत्ता 8 वी बहुपदींचा भागाकार कसा करतात? हे शिकण्याआधी बैजिक राशींवर बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार ह्या मूलभूत गणितीय क्रिया कशा करायच्या ते आपण पाहू,
बेरीज:
5a+2a=7a
वजाबाकी:
10b-8b=2b
गुणाकार:
1)\;20m\times 3m=60m^2
2)\;9n^2\times 12n^2=108n^4
\begin{aligned} \\ 3)\, &\left(7x+3y\right)\times\frac{3}{x} \\ &=\left(\frac{21x+9y}{x}\right) \\ &=\frac{21\cancel{x}}{\cancel{x}}+\frac{9y}{x} \\ &=21+\frac{9y}{x}\end{aligned}
\begin{aligned} \\ 4)&\left(2x^2+5y\right)\times\left(8x+4y\right) \\ &=(2x^2\times 8x)+(2x^2\times 4y)+(5y\times 8x)+(5y\times 4y) \\ &=16x^3+8x^2y+40xy+20y^2\end{aligned}
एका चलातील बैजिक राशी
बहुपदींचा भागाकार शिकण्याआधी आपण एका चलातील बैजिक राशी म्हणजे काय ते समजावून घेऊ,
| आता आपण एका चलातील बैजिक राशी म्हणजे काय ते पाहू, 2x, 7y^2, 108p^5 वरील प्रत्येक बैजिक राशींमध्ये x, y किंवा p हे एकच चल आहे आणि त्यामुळे अशा प्रकारच्या बैजिक राशींना एका चलातील बैजिक राशी असं म्हणतात. |
एकपदी
बहुपदींचा भागाकार शिकण्याआधी आपण एकपदी म्हणजे काय ते समजावून घेऊ,
| एकपदी म्हणजे काय? 2x, 7y^2, 108p^5 वरील बैजिक राशींमध्ये 2x, 7y^2, आणि 108p^5 हे एका चलातील एकच पद असल्याने अशा बैजिक राशींना एका चलातील एकपदी म्हणतात. |
बहुपदी
बहुपदींचा भागाकार शिकण्याआधी आपण बहुपदी म्हणजे काय ते समजावून घेऊ,
| बहुपदी: ज्या बैजिक राशींमध्ये, (1) एकापेक्षा अधिक एकपदींचा समावेश असतो आणि (2) ज्यांच्या प्रत्येक पदातील चलाचा घातांक ही एक पूर्ण संख्या असते, त्या बैजिक राशींना बहुपदी म्हणतात. उदाहरणार्थ 4x^3+9x^2+7x+10 किंवा 12p^2+9p-23 ह्या एका चलातील बहुपदी आहेत. |
बहुपदी ह्या बैजिक राशी असल्याने त्यांच्यावर बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार ह्या गणितीय क्रिया करता येतात. आपण ह्याची काही उदाहरणं बघुयात,
\begin{aligned} \\ 1)\;&\left(2m^2+4m\right)\times\left(5m^2-3m\right) \\ &=2m^2\left(5m^2-3m\right)+4m\left(5m^2-3m\right) \\ &=10m^4-6m^3+20m^3-12m^2 \\ &=10m^4+14m^3-12m^2\end{aligned}
\begin{aligned} \\ 2)\;&\left(4x^3+8x2+3x+20\right)-\left(7x^2-15x+35\right) \\ &= 4x^3+8x^2+3x+20-7x^2+15x-35 \\ &=4x^3+x^2+18x-15\end{aligned}
| बहुपदीची कोटी: बहुपदीतील चलांच्या सर्वात मोठ्या घातांकास त्या बहुपदीची कोटी म्हणतात. उदा: 4x^3-5x+20 ह्या बहुपदीची कोटी 3 आहे कारण ह्या बहुपदीतील चलाचा (म्हणजे x चा) सर्वात मोठा घातांक 3 आहे. उदा: 20p^5+23p^6+15p^2+19 ह्या बहुपदीची कोटी 6 आहे कारण ह्या बहुपदीतील चलाचा (म्हणजे p चा) सर्वात मोठा घातांक 6 आहे. |
इयत्ता 8 वी बहुपदींचा भागाकार कसा करतात? हे शिकताना आत्तापर्यंत आपण बहुपदी म्हणजे काय, बहुपदीची कोटी म्हणजे काय आणि बहुपदींवर बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार ह्या मूलभूत गणितीय क्रिया कशा करता येतात, ते शिकलो. आता आपण आधी एकपदीचा भागाकार कसा करायचा ते पाहू,
एकपदीचा भागाकार
बहुपदींचा भागाकार शिकण्याआधी आपण एकपदीचा भागाकार कसा करतात ते समजावून घेऊ,
\mathbf{1)}\;20a^3\div 4a
ह्या उदाहरणात 20a^3 ही एक एकपदी आहे आणि 4a ही दुसरी एकपदी आहे. इथे एक लक्षात घ्या की भागाकार ही गुणाकाराच्या उलट क्रिया असते. त्यामुळे 20a^3 ला 4a ने भागताना आपल्याला हे पहायचे आहे की 4a ला कुठल्या एकपदीने गुणलं की गुणाकार 20a^3 येईल.
इथे तुमच्या लक्षात येईल की 4a ला 5a^2 ने गुणल्यावर गुणाकार 20a^3 येतो.
याचाच अर्थ असा की 4a ने 20a^3 ला भागल्यावर उत्तर 5a^2 येतं. हेच आपण भागाकाराच्या स्वरूपात पुढील प्रमाणे लिहू शकतो,
\begin{aligned} \\ \mathbf{5a^2}\phantom{)}\\ 4a{\overline{\smash{\big)}\;20a^3\phantom{)}}} \\ \underline{-20a^3\phantom{)}} \\ 0\phantom{xx}\end{aligned}
\mathbf{2)}\; \left(-36x^4\right)\div\left(-4x\right)
उत्तर:
\begin{aligned} \\ \mathbf{9x^3}\phantom{)} \\ -4x{\overline{\smash{\big)}-36x^4}} \\ \underline{-(-\;36x^4)\!\!} \\ 0\phantom{xxx}\end{aligned}
\mathbf{3)}\; \left(6y^2\right)\div\left(-y\right)
उत्तर:
\begin{aligned} \\ \mathbf{-6y} \\ -y{\overline{\smash{\big)}\;6y^2}} \\ \underline{-6y^2} \\ 0\phantom{x}\end{aligned}
\mathbf{4)}\; \left(-30m^2\right)\div\left(2m^3\right)
उत्तर:
\begin{aligned} \\ \mathbf{-15m^2}\phantom{)} \\ 2m^3{\overline{\smash{\big)}\;-30m^5\phantom{)}}} \\ \underline{-(-\;30m^5)} \\ 0\phantom{xxx}\end{aligned}
आता तुमच्या लक्षात आलं असेल की बहुपदींचा भागाकार शिकताना एकपदीचा भागाकार किती महत्वाचा आहे.
बहुपदीला एकपदीने भागणे
बहुपदींचा भागाकार करताना बहुपदीला एकपदीने कसं भागायचं ते आपण उदाहरणासहित समजावून घेऊयात,
\mathbf{1)}\left(6x^3+8x^2\right)\div 2x
उत्तर:
ह्या उदाहरणात दिलेल्या बहुपदीत 6x^3 आणि 8x^2 ह्या दोन एकपदी आहेत. भागाकार करताना ह्या एकपदींना दिलेल्या 2x ह्या एकपदीने भागालं, की हा भागाकार पूर्ण होतो.
\begin{aligned} \\ 3x^2+4x\phantom{x} \\ 2x{\overline{\smash{\big)}\,6x^3+8x^2}} \\ \underline{-\;6x^3\phantom{+8x^2x}} \\ 0\phantom{-\,}+8x^2 \\ \underline{-\,8x^2} \\ 0\phantom{00}\end{aligned}
\mathbf{2)}\;\left(12p^3-6p^2+4p\right)\div 3p^2
उत्तर:
ह्या उदाहरणात दिलेल्या बहुपदीत 12p^3, -6p^2 आणि 4p ह्या तीन एकपदी आहेत. भागाकार करताना ह्या एकपदींना दिलेल्या 3p^2 ह्या एकपदीने भागालं, की हा भागाकार पूर्ण होतो.
\begin{aligned} \\ 4p-2\phantom{xxxxxx} \\ 3p^2{\overline{\smash{\big)}\,12p^3-6p^2+4p}} \\ \underline{-\,12p^3\phantom{-6p^2+4pp}} \\ 0\phantom{p^3}-6p^2+4p \\ \underline{-(-\,6p^2)\phantom{+4p\,}} \\ 0\phantom{p^2}+4p\end{aligned}
इथे भागाकार 4p-2 आहे आणि 4p बाकी आहे.
\mathbf{3)}\;\left(15y^4+10y^3-3y^2\right)\div 5y^2
उत्तर:
ह्या उदाहरणात दिलेल्या बहुपदीत 15y^4, 10y^3 आणि -3y^2 ह्या तीन एकपदी आहेत. भागाकार करताना ह्या एकपदींना दिलेल्या 5y^2 ह्या एकपदीने भागालं, की हा भागाकार पूर्ण होतो.
\begin{aligned} \\ 3y^2+2y-\frac{3}{5}\phantom{xxx} \\ 5y^2{\overline{\smash{\big)}\,15y^4+10y^3-3y^2}} \\ \underline{-\,15y^4\phantom{+10y^3-3y^2y}} \\ 0\phantom{-\,15}+10y^3-3y^2 \\ \underline{-\,10y^3\phantom{-3y^2y}} \\ 0\phantom{-\10}-3y^2 \\ \underline{-(-3y^2)} \\ 0\phantom{xx}\end{aligned}
\mathbf{4)}\;\left((5x^4-3x^3+4x^2+2x-6)\right)\div x^2
उत्तर:
ह्या उदाहरणात दिलेल्या बहुपदीत 5x^4, -3x^3, 4x^2, 2x आणि -6 ह्या पाच एकपदी आहेत. भागाकार करताना ह्या एकपदींना दिलेल्या x^2 ह्या एकपदीने भागालं, की हा भागाकार पूर्ण होतो.
\begin{aligned} \\ 5x^2-3x+4\phantom{xxxxxx} \\ x^2{\overline{\smash{\big)}\,5x^4-3x^3+4x^2+2x-6}} \\ \underline{-\,5x^4\phantom{-3x^3+4x^2+2x-6x}} \\ 0\phantom{x^4}-3x^3+4x^2+2x-6 \\ \underline{-(-\;3x^3)\phantom{+4x^2+2x-6}} \\ 0\phantom{x^3}+4x^2+2x-6 \\ \underline{-\,4x^2\phantom{+2x-6x}} \\ 0\phantom{x^2}+2x-6 \end{aligned}
इथे भागाकार 5x^2-3x+4 आहे आणि 2x-6 बाकी आहे.
| महत्वाचं: बहुपदीचा भागाकार करताना जेव्हा बाकी शून्य उरते किंवा बाकीची कोटी ही भाजक बहुपदीच्या कोटीपेक्षा लहान असते तेव्हा भागाकाराची क्रिया पूर्ण होते. वरील उदाहरण 1 आणि 2 मध्ये बाकी शून्य उरत असल्याने भागाकार पूर्ण झाला आहे. उदाहरण 3 आणि 4 मध्ये बाकीची कोटी ही भाजकाच्या कोटीपेक्षा लहान असल्याने भागाकार पूर्ण झाला आहे. उदाहरण 3 मध्ये भाजक 3p^2 ची कोटी 2 आणि बाकी 4p ची कोटी 1 आहे. उदाहरण 4 मध्ये भाजक x^2 ची कोटी 2 आणि बाकी 2x-6 ची कोटी 1 आहे. |
बहुपदींचा भागाकार शिकण्यासाठी बहुपदीला एकपदीने भागायची अजून काही उदाहरणे आपण सोडवूयात,
\mathbf{1)}\;21m^2\div 7m
उत्तर:
\begin{aligned} \\ \mathbf{3m}\phantom{*}\\ 7m{\overline{\smash{\big)}\;21m^2}} \\ \underline{-21m^2} \\ \mathbf{0}\phantom{**}\end{aligned}
म्हणून भागाकार 3m आहे आणि बाकी 0 आहे.
\mathbf{2)}\;-48p^4\div -9p^2
उत्तर:
ह्या उदाहरणात -48p^4 ला -9p^2 ने पूर्ण भाग जात नाही आणि त्यामुळे आपल्याला आधी हे पहायचे आहे की -9p^2 ने -48p^4 ला भागायला -9p^2 ला कोणत्या संख्येने गुणावं लागेल.
इथे आपण गुणक x मानू,
\begin{aligned} \\ & -9p^2\times x=-48p^4 \\ & \therefore x=\frac{-48p^4}{-9p^2}\end{aligned}
आता आपण अंश आणि छेदाचे अवयव पाडून घेऊ,
\begin{aligned} \\ & \therefore x=\frac{-(2\times 2\times\ 2\times 2\times\ \cancel{3})p^{\cancel{4}2}}{(-3\times \cancel{3})\cancel{p^2}} \\ &\therefore x=\frac{16}{3}p^2\end{aligned}
म्हणून . . .
\begin{aligned} \\ \mathbf{\frac{16}{3}p^2}\phantom{*} \\ -9p^2{\overline{\smash{\big)}\;-48p^4\;}} \\ \underline{-(-48p^4)} \\ \mathbf{0}\phantom{***}\end{aligned}
म्हणून भागाकार \frac{16}{3}p^2 आहे आणि बाकी 0 आहे.
\mathbf{3)}\;(5x^3-3x^2)\div x^2
उत्तर:
\begin{aligned} \\ \mathbf{5x-3}\phantom{*}\\ x^2{\overline{\smash{\big)}\;5x^3-3x^2}} \\ \underline{-5x^3\phantom{-3x^2*}} \\ 0\phantom{*}-3x^2\; \\ \underline{-(-\,3x^2)} \\ \mathbf{0}\phantom{**}\end{aligned}
म्हणून भागाकार 5x-3 आहे आणि बाकी 0 आहे.
\mathbf{4)}\;(2y^3+4y^2+3)\div 2y^2
उत्तर:
\begin{aligned} \\ \mathbf{y+2}\phantom{***} \\ 2y^2{\overline{\smash{\big)}\;2y^3+4y^2+3}} \\ \underline{-2y^3\phantom{+4y^2+3*}} \\ 0\phantom{**}+4y^2+3 \\ \underline{-\,4y^2\phantom{+3*}} \\ 0\phantom{**}+\mathbf{3}\end{aligned}
म्हणून भागाकार y+2 आहे आणि बाकी 3 आहे.
\mathbf{5)}\;(6x^5-4x^4+8x^3+2x^2)\div 2x^2
उत्तर:
\begin{aligned} \\ \mathbf{3x^3-2x^2+4x+1}\phantom{*}\\ 2x^2{\overline{\smash{\big)}\;6x^5-4x^4+8x^3+2x^2}} \\ \underline{-6x^5\phantom{-4x^4+8x^3+2x^2*}} \\ 0\phantom{**}-4x^4+8x^3+2x^2 \\ \underline{-(-\,4x^4\,)\phantom{+8x^3+2x^2}} \\ 0\phantom{**}+8x^3+2x^2 \\ \underline{-\,8x^3\phantom{+2x^2*}} \\ 0\phantom{**}+2x^2 \\ \underline{-\,2x^2} \\ \mathbf{0}\phantom{**}\end{aligned}
म्हणून भागाकार 3x^3-2x^2+4x+1 आहे आणि बाकी 0 आहे.
\mathbf{6)}\;40a^3\div -10a
उत्तर:
\begin{aligned} \\ \mathbf{-4a^2} \\ -10a{\overline{\smash{\big)}\;40a^3\;}} \\ \underline{-(-40a^3)} \\ \mathbf{0}\phantom{**}\end{aligned}
म्हणून भागाकार -4a^2 आहे आणि बाकी 0 आहे.
\mathbf{7)}\;40m^5\div 30m^3
ह्या उदाहरणात 40m^5 ला 30m^3 ने पूर्ण भाग जात नाही आणि त्यामुळे आपल्याला आधी हे पहायचे आहे की 30m^3 ने 40m^5 ला भागायला 30m^3 ला कोणत्या संख्येने गुणावं लागेल.
इथे आपण गुणक x मानू,
\begin{aligned} \\ & 30m^2\times x=40m^5 \\ & \therefore x=\frac{40m^5}{30m^3}\end{aligned}
आता आपण अंश आणि छेदाचे अवयव पाडून घेऊ,
\begin{aligned} \\ & \therefore x=\frac{(2\times 2\times\ \cancel{2}\times \cancel{5})\times m^{\cancel{5}2}}{(\cancel{2}\times 3\times \cancel{5})\times \cancel{m^3}} \\ &\therefore x=\frac{4}{3}m^2\end{aligned}
म्हणून . . .
\begin{aligned} \\ \mathbf{\frac{4}{3}m^2}\phantom{*} \\ 30m^3{\overline{\smash{\big)}\;40m^5}} \\ \underline{-40m^5} \\ \mathbf{0}\phantom{**}\end{aligned}
म्हणून भागाकार \frac{4}{3}m^2 आहे आणि बाकी 0 आहे.
\mathbf{8)}\;(8p^3-4p^2)\div 2p^2
उत्तर:
\begin{aligned} \\ \mathbf{4p-2}\phantom{*}\\ 2p^2{\overline{\smash{\big)}\;8p^3-4p^2}} \\ \underline{-8p^3\phantom{-4p^2*}} \\ 0\phantom{*}-4p^2\; \\ \underline{-(-\,4p^2)} \\ \mathbf{0}\phantom{**}\end{aligned}
म्हणून भागाकार 4p-2 आहे आणि बाकी 0 आहे.
\mathbf{9)}\;(21x^4-14x^2+7x)\div 7x^3
उत्तर:
\begin{aligned} \\ \mathbf{3x}\phantom{****} \\ 7x^3{\overline{\smash{\big)}\;21x^4-14x^2+7x}} \\ \underline{-21x^4\phantom{-14x^2+7x*}} \\ 0\phantom{**}\mathbf{-14x^2+7x}\end{aligned}
इथे लक्षात घ्या की 7x^3 ने -14x^2+7x ला भाग जाऊ शकत नाही कारण बाकीची कोटी ही भाजकाच्या कोटीपेक्षा लहान आहे. इथे भाजकाची कोटी 3 आहे आणि बाकीची कोटी 2 आहे आणि त्यामुळे भागाकाराची क्रिया इथेच पूर्ण होते.
म्हणून भागाकार 3y आहे आणि बाकी -14x^2+7x आहे.
\mathbf{10)}\;(25m^4-15m^3+10m+8)\div 5m^3
उत्तर:
\begin{aligned} \\ \mathbf{5m-3}\phantom{*****} \\ 5m^3{\overline{\smash{\big)}\;25m^4-15m^3+10m+8}} \\ \underline{-25m^3\phantom{-15m^3+10m+8*}} \\ 0\phantom{**}-15m^3+10m+8 \\ \underline{-(-\,15m^3)\phantom{+10m+8}} \\ 0\phantom{**}\mathbf{+10m+8}\end{aligned}
इथे लक्षात घ्या की 5m^3 ने 10m+8 ला भाग जाऊ शकत नाही कारण बाकीची कोटी ही भाजकाच्या कोटीपेक्षा लहान आहे. इथे भाजकाची कोटी 3 आहे आणि बाकीची कोटी 1 आहे आणि त्यामुळे भागाकाराची क्रिया इथेच पूर्ण होते.
म्हणून भागाकार 5m-3 आहे आणि बाकी 10m+8 आहे.
बहुपदीला द्विपदीने भागणे
बहुपदींचा भागाकार करताना द्विपदीने बहुपदीला भागताना, एकपदीने बहुपदीला भागताना वापरायचीच पद्धत वापरायची आहे.
| महत्वाचं: 1) द्विपदीने बहुपदीला भागताना, भाज्याला आणि भाजकाला आधी त्यांच्या उतरत्या कोटीने (उतरत्या घातांकाने) लिहून घ्यावे लागते आणि मग गणित सोडवावे लागते. 2) उतरत्या कोटीने भाज्य लिहिताना जर दिलेल्या मधल्या एखाद्या कोटीचे पद गहाळ असेल, तर त्याचा सहगुणांक 0 (शून्य) मानून ती बहुपदी लिहावी. उदाहरणार्थ: जर बहुपदी 3x^4+5x^2 अशी असेल तर x^3 चे पद गहाळ आहे आणि ते आपल्याला 0x^3 असं लिहावं लागेल आणि बहुपदी 3x^4+0x^3+5x^2 अशी लिहावी लागेल. |
बहुपदींचा भागाकार शिकण्यासाठी बहुपदीला द्विपदीने भागायची काही उदाहरणे आपण सोडवूयात,
| \mathbf{1)}\;(x^2+4x+4)\div (x+2) उत्तर: \begin{aligned} \\ \mathbf{x+2}\phantom{***} \\ x+2{\overline{\smash{\big)}x^2+4x+4}} \\ \underline{-x^2-2x\phantom{+4*}} \\ 0\phantom{*}+2x+4\, \\ \underline{-\;2x-4\,} \\ \mathbf{0}\phantom{**}\end{aligned} म्हणून भागाकार x+2 आहे आणि बाकी 0 आहे. | 1)\;(x+2) ने (x^2+4x) ला भागताना, (x+2) ला x ने गुणावं लागेल. (x+2)\times x=x^2+2x 2)\;(x+2) ने (2x+4) ला भागताना, (x+2) ला 2 ने गुणावं लागेल. (x+2)\times 2=2x+4 |
| \mathbf{2)}\;(y^4+24y-10y^2)\div (y+4) उत्तर: इथे आपल्याला भाज्य बहुपदीला त्याच्या उतरत्या कोटीप्रमाणे (उतरत्या घातांकाप्रमाणे) लिहून घ्यावे लागणार आहे. \therefore y^4-10y^2+24y इथे तुमच्या लक्षात येईल की y^4-10y^2+24y मध्ये y^3 चे पद गहाळ आहे. त्यामुळे आपल्याला 0 (शून्य) हा सहगुणांक घेऊन y^3 चे पद भाज्य बहुपदीमध्ये समाविष्ट करावे लागणार आहे. \therefore y^4+0y^3-10y^2+24y \begin{aligned} \\ \mathbf{y^3-4y^2+6y}\phantom{***} \\ y+4{\overline{\smash{\big)}y^4+0y^3-10y^2+24y}} \\ \underline{-y^4-4y^3\phantom{-10y^2+24y*}} \\ 0\phantom{*}-4y^3-10y^2\phantom{+24y*} \\ \underline{+\;4y^3+16y^2\phantom{+24y*}} \\ 0\phantom{*}+\;\;6y^2+24y \\ \underline{-\;\;\;6y^2-24y} \\ \mathbf{0}\phantom{****}\end{aligned} म्हणून भागाकार y^3-4y^2+6y आहे आणि बाकी 0 आहे. | 1)\;(y+4) ने (y^4+0y^3) ला भागताना, (y+4) ला y^3 ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(y+4)\times y^3 \\ & =y^4+4y^3 \\ & =-(y^4+4y^3) \\ & =-y^4-4y^3\end{aligned} 2)\;(y+4) ने (-4y^-10y^2) ला भागताना, (y+4) ला -4y^2 ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(y+4)\times -4y^2 \\ & =-4y^3-16y^2 \\ & =-(-4y^3-16y^2) \\ & =+4y^3+16y^2\end{aligned} 3)\;(y+4) ने (6y^2+24y) ला भागताना, (y+4) ला 6y ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(y+4)\times 6y \\ & =6y^2+24y \\ & =-(6y^2+24y) \\ & =-6y^2-24y\end{aligned} |
| \begin{aligned} \\ & \mathbf{3)}\;(6x^4+3x^2-9+5x+5x^3)\div \\ & (x^2-1)\end{aligned} उत्तर: इथे आपल्याला भाज्य बहुपदीला त्याच्या उतरत्या कोटीप्रमाणे (उतरत्या घातांकाप्रमाणे) लिहून घ्यावे लागणार आहे. \therefore 6x^4+5x^3+3x^2+5x-9 \begin{aligned} \\ \mathbf{6x^2+5x+9}\phantom{***} \\ x^2-1{\overline{\smash{\big)}6x^4+5x^3+3x^2+5x-9}} \\ \underline{-\;6x^4\phantom{+5x^3\;\,}+6x^2\phantom{+5x-9*}} \\ 0\phantom{*\;}+5x^3+9x^2+5x-9 \\ \underline{-\;5x^3\phantom{+9x^2\;\,}+5x\phantom{-9*}} \\ 0\phantom{*\;}\!\!+9x^2+\!\!10x-9 \\ \underline{-\,9x^2\phantom{*\;\,10x}+9} \\ \mathbf{0\phantom{*}+\!10x+0}\end{aligned} म्हणून भागाकार 6x^2+5x+9 आहे आणि बाकी 10x आहे. | 1)\;(x^2-1) ने (6x^4+5x^3+3x^2) ला भागताना, (x^2-1) ला 6x^2 ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(x^2-1)\times 6x^2 \\ & =6x^4-6x^2 \\ & =-(6x^4-6x^2) \\ & =-6x^4+6x^2\end{aligned} 2)\;(x^2-1) ने (5x^3+9x^2-5x) ला भागताना, (x^2-1) ला 5x ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(x^2-1)\times 5x \\ & =5x^3-5x \\ & =-(5x^3-5x) \\ & =-5x^3+5x\end{aligned} 3)\;(x^2-1) ने (9x^2+10x-9) ला भागताना, (x^2-1) ला 9 ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(x^2-1)\times 9 \\ & =9x^2-9 \\ & =-(9x^2-9) \\ & =-9x^2+9\end{aligned} |
| \mathbf{4)}\;(y^2+10y+24)\div (y+4) उत्तर: \begin{aligned} \\ \mathbf{y+6}\phantom{***} \\ +4{\overline{\smash{\big)}y^2+10y+24}} \\ \underline{-y^2\,-\,\;4y\phantom{+24*}} \\ 0\phantom{*}+\,\;6y+24\, \\ \underline{-\;\,\,6y-24\,} \\ \mathbf{0}\phantom{***}\end{aligned} म्हणून भागाकार y+6 आहे आणि बाकी 0 आहे. | 1)\;(y+4) ने (y^2+10y) ला भागताना, (y+4) ला y ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(y+4)\times y \\ & =y^2+4y \\ & =-(y^2+4y) \\ & =-y^2-4y\end{aligned} 2)\;(y+4) ने (6y+24) ला भागताना, (y+4) ला 6 ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(y+4)\times 6 \\ & =6y+24 \\ & =-(6y+24) \\ & =-6y-24\end{aligned} |
| \mathbf{5)}\;(p^2+7p-5)\div (p+3) उत्तर: \begin{aligned} \\ \mathbf{p+4}\phantom{***} \\ p+3{\overline{\smash{\big)}p^2+7p-5}} \\ \underline{-p^2-3p\phantom{-5*}} \\ 0\phantom{**}+4p-5\, \\ \underline{-\;4p\!-\!\!12\,} \\ \mathbf{0\phantom{*}-17}\end{aligned} म्हणून भागाकार p+4 आहे आणि बाकी -17 आहे. | 1)\;(p+3) ने (p^2+7p) ला भागताना, (p+3) ला p ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(p+3)\times p \\ & =p^2+3p \\ & =-(p^2+3p) \\ & =-p^2-3p\end{aligned} 2)\;(p+3) ने (4p-5) ला भागताना, (p+3) ला 4 ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\\therefore &(p+3)\times 4 \\ & =4p+12 \\ & =-(4p+12) \\ & =-4p-12\end{aligned} |
| \mathbf{6)}\;(3x+2x^2+4x^3)\div (x-4) उत्तर: इथे आपल्याला भाज्य बहुपदीला त्याच्या उतरत्या कोटीप्रमाणे (उतरत्या घातांकाप्रमाणे) लिहून घ्यावे लागणार आहे. \therefore 4x^3+2x^2+3x इथे तुमच्या लक्षात येईल की 4x^3+2x^2+3x मध्ये शेवटच्या अंकाचे पद गहाळ आहे. त्यामुळे आपल्याला 0 (शून्य) हा अंक भाज्य बहुपदीमध्ये शेवटी समाविष्ट करावा लागणार आहे. \therefore 4x^3+2x^2+3x+0 \begin{aligned} \\ \mathbf{4x^2+18x+75}\phantom{**} \\ x-4{\overline{\smash{\big)}4x^3+\ 2x^2+3x+0}} \\ \underline{-\ 4x^3+\!16x^2\phantom{+3x+0*}} \\ 0\phantom{**}+\!18x^2+3x+0\, \\ \underline{-18x^2+\!\!72x\phantom{+0*}} \\ 0\phantom{**}+75x+0 \\ \underline{-75x+300} \\ \mathbf{0\phantom{*}+300}\end{aligned} म्हणून भागाकार p+4 आहे आणि बाकी -17 आहे. | 1)\;(x-4) ने (4x^3+2x^2) ला भागताना, (x-4) ला 4x^2 ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(x-4)\times 4x^2 \\ & =4x^3-16x^2 \\ & =-(4x^3-16x^2) \\ & =-4x^3+16x^2\end{aligned} 2)\;(x-4) ने (18x^2+3x) ला भागताना, (x-4) ला 18x ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(x-4)\times 18x \\ & =18x^2-72x \\ & =-(18x^2-72x) \\ & =-18x^2+72x\end{aligned} 3)\;(x-4) ने (75x+0) ला भागताना, (x-4) ला 75 ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(x-4)\times 75 \\ & =75x-300 \\ & =-(75x-300) \\ & =-75x+300\end{aligned} |
| \mathbf{7)}\;(2m^3+m^2+m+9)\div (2m-1) उत्तर: \begin{aligned} \\ \mathbf{m^2+m+1}\phantom{**} \\ 2m-1{\overline{\smash{\big)}2m^3+m^2+m+9}} \\ \underline{-2m^2+m\;\,\phantom{+m+9*}} \\ 0\phantom{**}+\!2m^2+m+9 \\ \underline{-2m^2+m\phantom{+9*}} \\ 0\phantom{**}+\!2m+9 \\ \underline{-2m+1} \\ \mathbf{0\phantom{*}+10}\end{aligned} म्हणून भागाकार m^2+m+1 आहे आणि बाकी 10 आहे. | 1)\;(2m-1) ने (2m^3+m^2) ला भागताना, (2m-1) ला m^2 ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(2m-1)\times m^2 \\ & =2m^3-m^2 \\ & =-(2m^3-m^2) \\ & =-2m^3+m^2\end{aligned} 2)\;(2m-1) ने (2m^2+m) ला भागताना, (2m-1) ला m ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(2m-1)\times m \\ & =2m^2-m \\ & =-(2m^2-m) \\ & =-2m^2+m\end{aligned} 3)\;(2m-1) ने (2m+9) ला भागताना, (2m-1) ला 1 ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(2m-1)\times 1 \\ & =2m-m \\ & =-(2m-m) \\ & =-2m+m\end{aligned} |
| \mathbf{8)}\;(3x-3x^2-12+x^4+x^3)\div (2+x^2) उत्तर: इथे आपल्याला भाजक आणि भाज्य बहुपदीला त्यांच्या उतरत्या कोटीप्रमाणे (उतरत्या घातांकाप्रमाणे) लिहून घ्यावे लागणार आहे. \therefore x^2+2 आणि x^4+x^3-3x^2+3x-12. \begin{aligned} \\ \mathbf{x^2+x-5}\phantom{**} \\ x^2+2{\overline{\smash{\big)}x^4+x^3-3x^2+3x-12}} \\ \underline{-x^4\phantom{+x^3*}-2x^2\phantom{+3x-12*}} \\ 0\phantom{*}+x^3-5x^2+3x-12 \\ \underline{-x^3\phantom{-5x^2*}-2x\phantom{-12*}} \\ 0\phantom{*}-5x^2\!\!\phantom{*}+\;x\;-12 \\ \underline{+\;5x^2\phantom{+x\;\quad}+10} \\ \mathbf{0\phantom{**}+\;x\;\;-\;2}\end{aligned} म्हणून भागाकार x^2+x-5 आहे आणि बाकी x-2 आहे. | 1)\;(x^2+2) ने (x^4+x^3-3x^2) ला भागताना, (x^2+2) ला x^2 ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(x^2+2)\times x^2 \\ & =x^4+2x^2 \\ & =-(x^4+2x^2) \\ & =-x^4-2x^2\end{aligned} 2)\;(x^2+2) ने (x^3-5x^2+3x) ला भागताना, (x^2+2) ला x ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(x^2+2)\times x \\ & =x^3+2x \\ & =-(x^3+2x) \\ & =-x^3-2x\end{aligned} 3)\;(x^2+2) ने (-5x^2-12) ला भागताना, (x^2+2) ला -5 ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(x^2+2)\times -5 \\ & =-5x^2-10 \\ & =-(-5x^2-10) \\ & =5x^2+10\end{aligned} |
| \mathbf{9)}\;(a^4-a^3+a^2-a+1)\div (a^3-2) उत्तर: \begin{aligned} \\ \mathbf{a-1}\phantom{*****} \\ a^3-2{\overline{\smash{\big)}a^4-a^3+a^2-a+1}} \\ \underline{-a^4\phantom{-a^3+a^2*}-a\phantom{+1*}} \\ 0\phantom{*}-a^3+a^2+a+1 \\ \underline{+\;a^3\phantom{+a^2+a*}-2} \\ 0\phantom{*}+a^2+a-1\end{aligned} म्हणून भागाकार a-1 आहे आणि बाकी a^2+a-1 आहे. | 1)\;(a^3-2) ने (a^4-a^3+a^2-a) ला भागताना, (a^3-2) ला a ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(a^3-2)\times a \\ & =a^4-2a \\ & =-(a^4-2a) \\ & =-a^4+2a\end{aligned} 2)\;(a^3-2) ने (a^3+a^2+a+1) ला भागताना, (a^3-2) ला -1 ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(a^3-2)\times -1 \\ & =-a^3+2 \\ & =-(-a^3+2) \\ & =+a^3-2\end{aligned} |
| \mathbf{10)}\;(4x^4-5x^3-7x+1)\div (4x-1) उत्तर: इथे तुमच्या लक्षात येईल की 4x^4-5x^3-7x+1 मध्ये x^2 चे पद गहाळ आहे. त्यामुळे आपल्याला 0 (शून्य) हा सहगुणांक x^2 च्या पदासाठी घेऊन हे पद बहुपदीमध्ये समाविष्ट करावे लागणार आहे. \therefore 4x^4-5x^3+0x^2-7x+1 \begin{aligned} \\ \mathbf{x^3-x^2-\frac{x}{4}-\frac{29}{16}}\phantom{***} \\ 4x-1{\overline{\smash{\big)}4x^4-5x^3+0x^2-7x+1}} \\ \underline{-\;4x^4+\phantom{5}x^3\;\:\phantom{+0x^2-7x+1}} \\ 0\;\,-4x^3+0x^2-7x+1 \\ \underline{+\;4x^3-\phantom{0}x^2\;\:\phantom{-7x+1}} \\ 0\ -\phantom{0}x^2-7x+1 \\ \underline{+\quad\! x^2-\phantom{7}\frac{x}{4}\;\phantom{+1}} \\ 0\ -\frac{29x}{4}+1 \\ \underline{+\;\frac{29x}{4}-\frac{29}{16}} \\ 0\ -\frac{13}{16}\end{aligned} म्हणून भागाकार x^3-x^2-\frac{x}{4}-\frac{29}{16} आहे आणि बाकी \frac{-13}{16} आहे. | 1)\;(4x-1) ने (4x^4-5x^3) ला भागताना, (4x-1) ला x^3 ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(4x-1)\times x^3 \\ & =4x^4-x^3 \\ & =-(4x^4-x^3) \\ & =-4x^4+x^3\end{aligned} 2)\;(4x-1) ने (-4x^3+0x^2) ला भागताना, (4x-1) ला -x^2 ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(4x-1)\times -x^2 \\ & =-4x^3+x^3 \\ & =-(-4x^3+x^3) \\ & =+4x^3-x^3\end{aligned} 3)\;(4x-1) ने (-x^2-7x) ला भागताना, (4x-1) ला -\frac{x}{4} ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(4x-1)\times \frac{-x}{4} \\ & =-x^2+\frac{x}{4} \\ & =-(-x^2+\frac{x}{4}) \\ & =+x^2-\frac{x}{4}\end{aligned} 4)\;(4x-1) ने (-\frac{29x}{4}+1) ला भागताना, (4x-1) ला -\frac{29}{16} ने गुणावं लागेल. \begin{aligned} \\ \therefore &(4x-1)\times -\frac{29}{16} \\ & =-\frac{-29x}{4}+\frac{29x}{16} \\ & =-(-\frac{-29x}{4}+\frac{29x}{16}) \\ & =+\frac{-29x}{4}-\frac{29x}{16}\end{aligned} |
| थोडक्यात: इयत्ता 8 वी बहुपदींचा भागाकार कसा करतात? : बहुपदींचा भागाकार म्हणजे दोन बहुपदींच्या विभाजनाची प्रक्रिया असते, ज्यामध्ये एका बहुपदीला दुसऱ्या बहुपदीने भागले जाते. बहुपदींचा भागाकार ही प्रक्रिया अंकगणितातील साध्या भागाकारासारखी असली तरी अधिक विस्तृत असते. बहुपदींचा भागाकार करण्यासाठी भागाकार पद्धत खालील प्रमाणे वापरली जाते. जर आपल्याला x^3-2{x^2}-4x-8 ह्या बहुपदीला x-2 ने भागायचं असेल, तर प्रथम बहुपदीतील सर्वाधिक घातांक असलेले x^3 पद आणि भागाकार करणाऱ्या बहुपदीतील प्रथम पद x विचारात घेतले जाते. x^3 ला x ने भागल्यास उत्तर x^2 येते. x^2 तसेच ने (x-2) गुणून मूळ बहुपदीतून वजा केले जाते. हेच टप्पे शेवटच्या पदापर्यंत पुन्हा पुन्हा वापरले जातात. याचप्रकारे, बहुपदींचा भागाकार इतर बहुपदींसोबतही केला जाऊ शकतो. गणितात अनेक संकल्पनांसाठी बहुपदींचा भागाकार महत्त्वाचा आहे. विविध गणितीय सिद्धांत आणि समीकरणे सोडवण्यासाठी बहुपदींचा भागाकार उपयोगी पडतो. बहुपदींचा भागाकार वापरून गणितीय मॉडेल्स आणि अभियांत्रिकी क्षेत्रातही गणना केली जाते. संख्याशास्त्र आणि संगणकीय गणितात बहुपदींचा भागाकार हा मूलभूत घटक मानला जातो. सांख्यिकी आणि अभियांत्रिकीमध्ये मॉडेलिंगसाठी बहुपदींचा भागाकार वापरला जातो. |
इयत्ता 8 वी गणित पाठ्यपुस्तक: इथे क्लिक करा
